Резонанс в электрических цепях

Резонанс - режим пассивной эл. цепи, содержащая катушки индуктивности и емкости, при которой ее реактивное входящее сопротивление или входящая реактивная проводимость равно нулю.

При резонансе ток на входе в цепи всегда совпадает по фазе с напряжением.

Резонанс (напряжения) не разветвленной цепи

`Ом` `Ом`

Угловая частота, при которой наступает резонанс называется резонансной частотой

- характеристическое сопротивление контура ₀

- добротность контура- указывает во сколько раз напряжение индуктивности на емкость больше, чем на входе напряжение

Параллельный резонанс (резонанс тока)

/* */

-резонанс

-частный случай резонансов в параллельных ветвях

сопротивление емкости мы считаем идеальным R₂=0. Отсюда следует

Периодические несинусоидальные токи в линейных эл. Цепях

Периодические несинусоидальные токи и напряжение - это токи и напряжения, изменяющиеся во времени по периодическому не синусоидальному закону.

Любая периодическая функция f(x) с периодом 2 и x=t и удовлетворяющая условию Дирихле может быть разложена в тригонометрический ряд Эйлера-Фурье.

A₀ - постоянная составляющая

A_1max*sin(t+₁)- основная синусоида (первая гармоника)

Все остальные гармоники называют высшими гармониками.

Т е гармоники, которые обозначаются четными числами называют четными гармониками (2, 4, 6 и т.д.).

Задачи решают через мгновенные i и u.

-показания счетчика всегда действующие значения

Задача:

- В

R=3Ом; X_L=8 Ом; X_C=4Ом

Определить показания приборов, написать мгновенные значения несимметричного тока.

У нас 3 гармоники

1 ) Нулевая гармоники

Постоянное напряжение - 100В постоянно. L можно убрать

I₀=0; P₀=0

2) Первая гармоника

(сопротивление R дается по 1-ой гармонике)

-

-A

- A

-Вт

3)Третья гармоника

-Ом

-Ом

-Ом

-A

-А

-Вт

-А

-А (показания (А))

В(показания (V))

Вт

Классический метод

(заключающийся в интегрировании дифференциальных уравнений, связывающий токи и напряжения в переходном режиме. В результате этого появляются постоянные интегрирования, которые определяются из законов коммутации).

Возникновение переходных процессов

до коммутации момент коммутации после коммутации

I (0-) I (0) t=0 I (0+)

u (0-) u (0) t=0 u (0+)

1-ый закон коммутации

В любой ветви с индуктивностью ток и магнитный поток в момент коммутации (при t=0) сохраняет те же значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией и далее начинают изменяться с этих значений.

Математ. запись:

i_L (0-) = i_L (0) , т.е. ток на индуктивности не может измениться скачком

Док-во:

 2-ой закон Кирхгофа не соблюдается.

-энергия магнитного поля.

2-ой закон коммутации

В любой ветви напряжение и заряд на емкости сохраняет в момент коммутации (при t=0) те же значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией и далее начинают изменяться с этих значений.

u_c(0-)= u_c(0) , т.е. напряжение на емкости не может измениться скачком

Док-во

Переходный, принужденный (установившийся) и свободный п роцессы

Для любого момента времени в переходном режиме 2-ой закон Кирхгофа:

(1)

где i – ток переходного режима

R*i_{принужденный (установившийся)}.

(2)

i-i_{принужд.} = i_{свободн.} (3)

(4)

Это разложение токов и напряжений на свободные и принужденные соответствует лишь правилу решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений, согласно которому общее решение таких уравнений равно сумме частного решений неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

i_св. – представляет собой общее решение однородного дифференциального уравнения (1) и записывается в виде показательной функции:

i_св. = А*е^рt,

где А – постоянная интегрирования,

р –корень характеристического уравнения

i_прин – представляет собой частное решение неоднородного дифференциального уравнения (2). Определяется теми же методами, что и при законах Кирхгофа.

i= i_прин + i_св. = i_прин + А*е^рt – общее решение

(i= i_прин + А₁*е^р1t+ А₂*е^р2t – в зависимости от количества накопителей, в нашей схеме их два: L и C)