Операторный метод расчета переходного процесса.

Для инженерной практики более удобный метод решения диф. уравнений, при котором заданные начальные условия включаются в исходные уравнения и при этом не требуется дополнительно определять постоянные интегрирования (аналогия с логарифмированием).

Сущность метода:

Некоторую функцию f(t), где (t) – вещественная переменная и t – время, и называемая оригиналом, сопоставляют с другой функцией F(p), где р –комплексная переменная p=s+j и называемая изображением.

Сопоставление производится по формуле:

- Прямое преобразование Лапласа от функции f(t).

- математ. обозначение

Преобразование Лапласа имеет смысл в том случае, если интеграл сходится.

И практически все функции электротехнические этому условию удовлетворяют.

Некоторые свойства преобразования:

1. , где с- константа.

2.

следствие

оригинал		изображение
А		А/р
	
	
	
	

Таким образом изображение можно определить для любой функции диф. уравнения.

Изображение напряжения на l и на с

i(0), U_C(0) – внутрение ЭДС (величины при t=0 не могут измениться скачком и учитывают не нулевые начальные условия и они прямо включаются в электрич. схему.

Операторный метод позволяет свести операцию дифференцирования к умножению, а операцию интегрирования к делению.

Для расчета переходных процессов необходимо и обратное преобразование от изображения к оригиналу. Для этого используют таблицы и справочники.

Могут встречаться изображения для которых оригиналы не известны.

Используется один из следующих способов решения.

а) Изображение искомой функции представляют виде отношения полиномов по степеням р.

б) Осуществляют разложение сложной дроби на простые;

в) по простым дробям находят оригиналы.

Разложение сложной дроби на более простые

при условии, что mn, дробь не сократимая и полином М(р)=0 не имеет нулевого корня, тогда можно представить в виде суммы простых дробей:

,

где р_к будут корни уравнения М(р)=0, а А₀, А₁, А₂, … А_к находятся по формулам ; ; .

Иногда оригинал - изображения находят по формуле, называемой теоремой разложения

Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме

заменим

- закон Ома в операторной форме

/*/ - классический з.Ома /*/

Внутренняя ЭДС всегда совпадает по направлению с током .

Внутренняя ЭДС всегда направлена навстречу току I_C.

Выражение в знаменателе называют операторным сопротивлением цепи RLC. Величина, обратная носит название операторной проводимости цепи RLC.

Если начальные условия нулевые, то полностью аналогичен закону Ома в комплексной форме.

1-ый закон Кирхгофа:

i₁+i₂+i_n=0

I_k(p)i_k(t)

2-ой закон Кирхгофа:

Полагаем, что

,