9.Свойства сходящихся последовательностей: предельный переход в неравенствах.

Теорема 1.

Пусть и для (или )

Тогда a b

Доказательство:

(от противного)

Пусть , выберем , тогда, поскольку { } и { } сходятся, то:

, для

, для

Определим , }

Мы пришли к противоречию, теорема доказана.

Следствие 1

Пусть 1)

2) для (или )

Тогда a=b

Доказательство: { } по теореме 1

Следствие 2

Пусть 1)

2) для (или )

Тогда a=b

Доказательство: { } по теореме 1

Следствие 3

Пусть 1) для

2)

Тогда c=[a, b]

Теорема 2. О промежуточных значениях

Пусть 1) для

2)

Тогда

Доказательство:

, Ч.Т.Д.

10.Монотонные последовательности. Признак Вейерштрасса сходимости монотонной последовательности.

Определение.

Последовательность { } является:

1. Невозрастающей, если ;

2. Неубывающей, если ;

3. Убывающей, если ;

4. Возрастающей, если .

1-4 являются монотонными последовательностями, притом 3 и 4 – строго монотонными.

Замечания:

(невозрастающая последовательность) и (убывающая последовательность) ограничены сверху числом ;

Остальные ограничены снизу числом .

Примеры:

{ } – убывающая последовательность;

{1;1;2;2;3;3;…} – неубывающая последовательность.

Теорема Вейерштрасса

1. Неубывающая и ограниченная сверху последовательность { } сходится, причем

2. Невозрастающая и ограниченная снизу последовательность { } сходится, причем

Р ассмотрим последовательность :

1. { } ограничена сверху;

2. По определению точной верхней грани для

3. Т.к. последовательность не убывающая, то для выполняется неравенство:

Следовательно,

А значит, что а также

Ч.Т.Д.

Вопрос 11. Бином Ньютона. Свойство биномальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

Определение. Факториалом целого неотрицательного числа n называется число n! (читается: эн факториал).

Определение по формуле: n!= n(n-1)(n-2) ∙…∙2∙1, если n N

1, если n=0

Примеры. 0!=1, 1!=1, 2!=2∙1=2, 3!=3∙2∙1=6.

Теорема. Имеет место равенство называемое формулой бинома Ньютона

где

Лемма. При 0 ≤ k ≤ n-1 биноминальные коэффициенты удовлетворяют равенству

Док-во леммы.

Замечание. Учитывая приведенную лемму, биноминальные коэффициенты можно записать в виде треугольника Паскаля

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

n = 6

n = 7

n = 8

Док-во теоремы проведем методом математической индукции

1. При n = 1 формула верна: (a+b)¹ = 1∙a+1∙b, т.к. С⁰₁=С¹₁=1

2. Пусть формула Бинома Ньютона справедлива при n=m, где m≥1

3. Докажем, что она верна и при n=m+1:

Примеры. (a+b)²=a²+2ab+b²

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

(a+b)⁴=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵

Вопрос 12. Число е.

Теорема. Последовательность x_n=(1+1/n)ⁿ имеет (конечный) предел.

Замечание. Предел последовательности равен е.

=2,718281828459…. – число Непера

Док-во.

1)k!=k(k-1)(k-2) ∙…∙2∙1≥2^k-1 для k≥1

2) Докажем, что последовательность возрастает. Применим формулу бинома Ньютона.

Все слагаемые – положительные, причем каждое слагаемое из x_n меньше слагаемого из x_n+1. Кроме того, число слагаемых в x_n+1 на одно больше.

Значит, при n≥2 x_n<x_n+1, т.е функция возрастающая.

3)Докажем, что функция ограничена.

1. x_n возрастающая функция и ограничена сверху числом 3

ВОПРОС №13

ПРИНЦИП КОШИ-КАНТОРА ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКОВ. ЛЕММА КАНТОРА (С ДОКАЗАТЕЛЬСТВОМ).

Опр. Последовательность отрезков ∆n=[a_n, b_n] называется стягивающейся, если:

1)Каждый последующий отрезок принадлежит предыдущему (вложенные отрезки), т.е.:

n є N => ∆_n+1<∆_n

2)Длина n-го отрезка ∆_n стремится к нулю при n→∞(т.е. =0).

ЛЕММА КАНТОРА.

Последовательности стягивающихся отрезков имеют единственную общую точку.

Доказательство

1)Существование:

Рассмотрим два множества (две последовательности) A={a_n} и B={b_n}. Условие вложенности отрезков означает, что a₁≤a₂≤...≤a_n≤a_n+1≤...≤b_n+1≤b_n≤...≤b₂≤b₁, поэтому для любых n,m є N выполняется неравенство a_n≤b_m. Согласно свойству непрерывности действительных чисел, точка сєR, разделяющая множества A и В: a_n ≤ c ≤ b_m для n,mєN, в частности, a_n ≤ c ≤ b_n для nєN, т.е. c є∆_n для nєN.

2)Единственность (доказательство от противного):

Предположим, что две различные точки c1 и c2 (c1<c2), принадлежащие всем отрезкам последовательности {∆_n}.

Тогда при nєN, выполняются неравенства

a_n≤c₁<c₂≤b_n => (b_n-a_n)≥(c₂-c₁)= l>0.

Откуда получаем (предельным переходом в неравенстве) 0= ≥ l>0.

Получившееся противоречие доказывает единственность.

Ч.Т.Д.

Замечание:

В лемме Кантора рассматривается бесконечная система вложенных отрезков, а не интервалов - это существенно. Для системы стягивающихся интервалов теорема неверна: ∆_n=(0;1/n] => n _n= .

ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ЧАСТИЧНЫЕ ПРЕДЕЛЫ ИЛИ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ. ТЕОРЕМА БОЛЬЦАНЕ-ВЕЙЕРШТРАССА.

Опр.: Пусть {x_n} – последовательность и {n_k} - строго возрастающая последовательность натуральных чисел.

Тогда последовательность {y_k=x_nk} – подпоследовательность {x_n}.

Пример:

Замечания:

1. Согласно определению, подпоследовательность {x_nk} образована из членов исходной последовательности {x_n} с сохранением порядка следования элементов;

2. В записи {x_nk} число k означает порядковый номер члена последовательности y₁=x_n1, y₂=x_n2,…, а n_k – это номер этого члена в исходной последовательности;

3. Поскольку {n_k} – строго возрастающая последовательность натуральных чисел, то n_k≥k (здесь сравниваются члены с одинаковым порядковым номером у двух строго монотонных последовательностей {n_k} и {k}, причём у первой шаг h_k=n_k+1-n_k≥1, а у второй h_k=1). Поэтому n_k→∞ и k→∞;

4. У последовательностей существует бесконечное число подпоследовательностей.

Опр.: Если lim y_k=B, где {y_k} – подпоследовательность последовательности {x_n}, то В называют частичным пределом последовательности {x_n} или предельной точкой x_n в {x_n};

Опр.: Пусть L-множество всех частичных пределов {x_n }

Замечания:

1. Если последовательность имеет конечный верхний предел, то она ограничена сверху:

2. Если последовательность имеет конечный нижний предел, то она ограничена снизу:

3. Для любой {x_n} можно построить подпоследовательности {y_k} и {z_k}:

ТЕОРЕМА БОЛЬЦАНЕ-ВЕЙЕРШТРАССА О СУЩСТВОВАНИИ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТОЧКИ В ОГРАНИЧЕННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.

Вопрос:

Всегда ли ограниченная последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность?

Ответ:

Да!

Теорема:

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство:

1. ({x_n}-ограниченная) отрезок [a; b], содержащий {x_n};

2. Строим систему стягивающихся отрезков, обладающую свойством:

элемент _n(система отрезков) = [a_n, b_n] содержит бесконечное число членов {x_n}.

1. [a; b]=∆_о

Разбиваем [a;b] пополам и в качестве ∆₁ берём любую половину, содержащую бесконечное число членов {x_n};

2. ∆₁ делим пополам и в качестве ∆₂ берём любую половину, содержащую бесконечное число членов {x_n};И далее аналогично…

3. На n-м шаге получаем отрезок

∆_n=[a_n;b_n]= →0 (n→0) – длина отрезка.|∆₁| =

Очевидно, что система ∆_n обладает характерным свойством Это система стягивающихся отрезков. _∆n(по лемме Кантора) = с [a;b].

3. Строим {y_k} →c (n →∞)

1. y₁ = x_n1 ∆₁;

2. y₂ = x_n2 ∆₂ и n₂>n₁;

И т.д.

0≤|yk-c|≤|bk-ak|→0 (k→∞). По правилу «двух милиционеров» |yk-c|→0. Ч.Т.Д.

Для неограниченной последовательности {x_n} – аналогичный результат имеет вид:

Теорема:

Из неограниченной последовательности {x_n} можно выделить бесконечно большую {y_k}.

Доказательство:

1. n₁ N: |x_n1|>1 y₁=x_n1

2. n₂ n₁: |x_n2|>2 y₂=x_n2

3. n₃ > n₂: |xn₃|>3 y₃=x_n3

И т.д.

4. {y_k} – бесконечно большая подпоследовательность.

Следствие из двух теорем:

Из любой последовательности можно выделить либо сходящуюся, либо бесконечно большую подпоследовательность.