15. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности.

Опр. Последовательность { } – фундаментальная (или последовательность Коши), если для любого ε>0 существует N=N(ε) такой, что для любого m,n>N => | - <ε.

Лемма. Фундаментальная последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть ε=1, тогда существует N=N(ε) такой, что для любого m,n>N  | - |≤1. | |≤1 для любого m≥N. Можно записать, что | |=|( - )+ )| ≤ | - |)| + | ≤1 + | | (подставили |≤1).

| } |≤max{| |,…,| |,| +1|}. Следовательно, последовательность { } -ограничена. Теорема доказана.

До сих пор для установления сходность последовательности, необходимо было знать её предел. Критерий Коши позволяет установить сходность последовательности только по её членам.

Теорема (Критерий Коши).

Для того, чтобы последовательность { } была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство.(необходимость). Пусть { }a. Зафиксируем ε>0= ε/2.  существует N=N(ε): для любого n>N  | -a| < ε/2. Пусть n,m>N  | - |=|( -a)-( -a)| ≤ | -a|+| -a|< ε/2+ ε/2= ε. Теорема доказана.

16. Числовые функции и их графики. Способы задания функции.

Опр. Пусть X⊂ R . Числовой функцией, определенной(заданной) на X называется закон, по которому числу ставиться в соответствие строго одно число y R. Пишут: y=f(x) , где x – независимая переменная, а y- зависимая переменная.

Опр. X=D(f)(или D с индексом f) - Область определения функции. Число x R – значение аргумента. Число y, соответствует x ( =F( )) называется значением функции в точке (частное значение функции F) f( )=f(X)|X=.

Опр. Совокупность всех частных значений функции, которая она принимает, если x пробегает все D(f) называется областью(множеством) значения и обозначается E(f)=E(y).

Опр. Графиком функции f(x), где x в прямоугольной декартовой системе координат XOY называется множество всех точек M(x,f(x)), абсциссы которых принадлежат , а ординаты вычисляются по фомуле y=f(x).

Примеры графиков:

Способы задания функции:

1) аналитический - с помощью формулы.

x	0	1	2
y	3	2	1

Примеры: y=3-x D(y)=R=x; E(y)=R=y;

2) табличнй y=3-x

3) графический

Предел функции в точке. Эквивалентность двух определений. Примеры.

Определение по Гейне.

Число А называется пределом функции f(x) при х стремящемся к а

Если:

1. F(x) определен в (а);

2. 

Определение по Коши.

Число А …:

1. … (a);

2. 

Замечание: для обобщения понятия предела функции полезно опр по Коги сформулировать в терминах окрестностей:

Или )

Теорема.

Опред 1. И 2 пределов функции в точке эквивалентны.

Доказательство:

Считается, что функция определена в дельта 0 окрестность.

В определениях 1 и 2 предела f предполагается, что f определена в некоторой проколотой окрестности точки а. Далее предполагается, что дельта удовлетворяет условию

1. (К=>Г) Пусть число А есть предел функции в точке а по Коши. Это означает, что для , такое, что для всех х удовл. условии. 0<|x-a|<

2. Выполняется неравенство |f(x)-A|<

Докажем, что в этом случае существует предел функции f(x) в т. А по Гейне, который равен А. Для этого рассмотрим произвольную последовательность целиком лежащую в .

Согласно определению сход-ся посл. Существует номер N=N( такое, что , тем самым мы доказали, что число А является пределом в точке а по Гейне.

2)(Г=>К) от противного

Пусть А-предел f(x) в точке а по Гейне и предположим, что А не является пределом f(x) в точке а по Коши. Это означает, что существует такой, что 0<|x-a|< (3)

Но |f(x)-A|> (4)

Рассмотрим послед. Чисел = 1/n, n принадлежит N и соотв. Ей послед. Точек x*x(1/n), n принадлежит N. В силу (3-4) для любого n принадлежащего N выполняются условия:

0<|x-a|<

|f(x)_A|

Полученное противоречие завершает доказательство теоремы. Ч и т.д.

Следствие: Если существует, то он единственный

Док-во: Согласго опр. 1 этот предел равен пределу посл-ти, а предел посл-ти – единственный

Пример 1.

Докажем, что =2-3x