2) Конечный или бесконечный ;

Тогда: 1) Существует конечный или бесконечный

2)

Доказательство:

Вопрос 33. Сравнение функций. Символика o и o.

Правила сравнения бесконечно малых функций (при xàω).

1. Пусть:

1. В некоторой Ů(ω) определены функции f(x), g(x) и α(x).

2. В Ů(ω) Ǝ f(x) = g(x)∙α(x), (*)

где α(x) – бесконечно малая функция при xàω.

Тогда f(x) называют бесконечно малой по сравнению с функцией g(x) при xàω (пишут: f(x)=o(g(x)) при xàω).

Замечания:

Функция f(x) = o(1) при xàω – бесконечно малая функция при xàω.

Если g(x) ≠0 в некоторой Ů(ω), то равенство (*) можно записать в виде

или

Пример: при xà0, т.к.

2. Пусть:

1. α(x) и β(x) – бесконечно малые функции при xàω

2. Ǝ конечный .

Тогда α(x) и β(x) называются бесконечно малыми функциями одного порядка.

Пример: – бесконечно малые функции при xà0 одного порядка.

3. при xàω – эквивалентные бесконечно малые функции при xàω.

4. Пусть α(x) и β(x) – бесконечно малые функции при xàω.

Если , то α(x) – бесконечно малая функция n-го порядка относительно β(x).

5. Пусть ϕ(x) и ψ(x) определены в некоторой Ů(ω). Говорят, что ϕ(x) = O(ψ(x)) при xàω, если Ǝ Ů₁(ω) и Ǝ C>0 такие, что

Пример: при xàω , т.к. (В опр. O взяли С=1).

Вопрос № 35