Вопрос 22. Непрерывность функции в точке. Примеры непрерывных точек.

Определение 1: f(x) непрерывна в точке тогда и только тогда, когда

1. f(x) определена в окрестности U (x₀)

2. Ǝ конечный

3. (*)

Замечание: (*) можно записать так

То есть для непрерывной функции можно переставить знак функции и знак предела.

Определения 1, 2 эквивалентны.

Доказательство очевидно.

Определение 2: (----//----)

Пример 1: f(x)=const – непрерывна в , так как

Пример 2: f(x)=x - ----//----, так как

Пример 3: f(x)=sin x - непрерывна в

Лемма Для

Доказательство непрерывности sin x в произвольной точке х₀:

23. Точки разрыва функции и их классификация.

f(x) определена в некоторой (а)

Определение: Точка а – точка разрыва функции f

1)либо f(x) не определена в т. а

2)либо f(x) определена в т. а, но т. а не является ее точкой непрерывности.

Замечание: Точка а является точкой разрыва функции f, если НЕ выполняется хотя бы одно из следующих условий: 1) а D(f); 2) конечный lim f(x)=A; 3)A=f(a).

Определение: Пусть: 1) а – точка разрыва функции f(x).

2) конечные односторонние пределы функции f в т. a: = f(a-0) R и

=f(a+0) R

Тогда т. а называется точкой разрыва ПЕРВОГО РОДА.

Замечания:

1)Для точки (х=а),разрыва первого рода функции f(x), разность f(a+0)-f(a-0) называют скачком функции в точке а.

2)В случае нулевого скачка, т.е. когда f(a+0)=f(a-0), точку а (разрыва первого рода) называют точкой центрального разрыва,

Полагая (x) =

Получим функцию непрерывную в точке а и совпадающую с f(x) при x a. В этом случае говорят, что функция f(x) доопределена по непрерывности в точке а.

Определение: Пусть:1) a - точка разрыва функции f(x);

2) a не является точкой разрыва первого рода.

Тогда точка а называется точкой разрыва ВТОРОГО РОДА.

Замечание: В точке разрыва хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или

Пример 1

а) sgn х имеет в т. х=0 разрыв 1^го рода: – скачок в точке 0

б) Isgn xI имеет в точке x=0 устранимый разрыв: преодолив ее в т. х=0 единицей, получим непрерывную на R функцию.

Пример 2. а) имеет в т. х=0 разрыв 2^го рода

б) имеет в точках - разрывы 2^го рода.

Пример 3. а) имеет в т. х=0 разрыв 2^го рода, т.к.

б) функция Дирихле f(x) =

любая точка является точкой разрыва 2^го рода, т.к. односторонние пределы

Вопрос 24. Локальные свойства непрерывных функций: локальная ограниченность, устойчивость знака и сохранение непрерывности при арифметических операциях.

Achtung!!! В начале лекции в тетради есть пустое место, однако информации, что же здесь должно быть, мне получить не удалось.

Теорема 1. Локальная ограниченность функции, непрерывной в точке.

Функция f(x), непрерывная в точке a, ограничена в некоторой U(a), т.е.

Доказательство:

Согласно свойству локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел:

. Переходя к пределу: Теорема доказана.

Теорема 2 об устойчивости знака непрерывной функции. Если f(x) непрерывна в точке a и , то , в которой f(x) сохраняет знак.

Доказательство: не теряя общности (доказательства), можно считать, что f(a)>0 (g(x)=-f(x)). Берем

Теорема 3. Сохранение свойства непрерывности при арифметических операциях над функциями.

Пусть f(x) и g(x) непрерывны в точке

Тогда:

1. f(x)+g(x)

2. f(x)-g(x)

3. f(x)∙g(x)

4. f(x)/g(x) (при )

непрерывны в точке a.

Доказательство (доказываем 3-е утверждение): пусть .

Тогда Теорема доказана.

Пример: алгебраический многочлен , где

Т.к. если

непрерывен на ℝ как сумма конечного числа непрерывных функций.

Теорема 4. Непрерывность сложной функции

(Функции, образованные в результате суперпозиции (т.е. последовательного применения) двух или нескольких функций, называются сложными)

Пусть:

1. функция t=g(х) непрерывна в точке хₒ ;

2. ф ункция y=fty) непрерывна в точке tₒ=g(xₒ) ;

Тогда

функция f(g(x)) непрерывна в точке хₒ

Доказательство

Возьмем число >0. Так как функция непрерывна в точке то можно подобрать такое число , что

для любого , такого, что . (1)

А так как функция непрерывна в точке , то для положительного числа можно подобрать такое число , что

для любого , такого, что . (2)

Возьмем любое число такое, что . Тогда в силу (2) число удовлетворяет неравенству , и поэтому в силу (1) . Так как все эти вычисления проведены для любого >0, то непрерывность функции в точке доказана.

Замечания

1. При доказательстве теоремы 4 мы использовали определение непрерывности функции в точке по Коши

Пример

Используя теорему 4, докажем, что функция z=cos(x) непрерывна для любого хₒ из R

Z=cos(x)=sin(π/2 – x), где (π/2 – x) = y

z(f) = f(φ(x)), где φ(x) = (π/2 – x) непрерывна в любом хₒ из R

f(y) =sin(y) непрерывна в любом уₒ из R

sin(π/2)cos(x) – cos(π/2)sin(x)

‖ ‖

1 0

Замечательные пределы

Теорема 1 (первый замечательный предел)

Лемма При 0<|x|<π/2 → cos(x) < sin(x)/x <1

Доказательство

1) пусть х находится (0; π/2)

BC=sin(x) DA=tg(x) 2S(AOB) = OA*BC = 1*sin(x) = sin(x) 2S(OAD) = OA*AD = 1*tg(x) = tg(x) sin(x) < x < tg(x)

или

2. x из (-π/2; 0)

cos(x) = |cos(x)| < sin|x|/|x| = sin(x)/x <1 чтд

Доказательство теоремы 1

Функции f1(x)=cos(x), g(x)=sin(x)/x, f2(x)=1 в проколотой окрестности π/2 точки (0) удовлетворяют правилу о двух милиционерах

т.к.

=1

то существует

Теорема 2 Второй замечательный предел

.

На первый взгляд кажется, что при имеет пределом единицу (так как 1+ при имеет пределом единицу, а единица в любой степени есть единица). Но в степень возводится 1+ , а не единица. И вот из-за этой бесконечно малой добавки предел не равен единице. Чтобы приблизительно представить себе поведение функции при малых приведем таблицу значений этой функции:

	1/2	1/3	1/4	0.01	0.001
	2.25	2.37…	2.44…	2.7047…	2.7169…

Из этой таблицы видно, что с уменьшением функция увеличивается. Оказывается, что это имеет место для всех >0, а из этого следует, что функция имеет предел.

Доказательство: Рассмотрим этот предел, как предел функции натурального аргумента на бесконечность. Тогда:

По определению Гейне:

= =

Вычислим . Рассмотрим = = .

По определению Гейне рассмотрим .

*

То есть = = = .

Также = = =

=

9.5.Свойства функций , непрерывных на отрезке.

Определение.

f(x)- называется непрерывной на отрезке [a;b], если:

1. f(x) непрерывна в любой точке y

2. f(x) непрерывна справа в точке a

3. f(x) непрерывна слева в точке b

f(a+0)=f(a)

f(b-0)=f(b)

Первая теорема Вейерштрасса.

Если f(x) непрерывна на [a;b], то она ограничена на отрезке [a;b] то есть существует M>0 такое что для любого следует что

Доказательство.

Предположим, что f(x) неограниченна на [a;b] следовательно

1)

2)

следовательно {x_n} бесконечно большая последовательность

{x_n} ограничена так как принадлежит [a;b] следовательно по теореме Больцано- Вейерштрасса _nk}->c

f(x_nk) бесконечно большая последовательность

f(x) непрерывна в точке c , но где

Противоречие.

Замечания.

Первая теорема Вейерштрасса неверна для промежутков, не являющихся отрезками.

Пример.

f(x)=1/x непрерывна на (0;1) но неограниченна на (0;1)

f(x)=x² непрерывна на R но неограниченна на R

9.5.Свойства функций , непрерывных на отрезке.

Определение.

f(x)- называется непрерывной на отрезке [a;b], если:

1. f(x) непрерывна в любой точке y

2. f(x) непрерывна справа в точке a

3. f(x) непрерывна слева в точке b

f(a+0)=f(a)

f(b-0)=f(b)

Вторая теорема Вейерштрасса.

Если f(x) непрерывна на [a;b] то она достигает на нем своих точных верхних и нижних граней , то есть и принадлежащие [a;b] такие что f(x^*)=sup(f(x)) и f(x^**)=inf(f(x))

Доказательство.

По первой теореме Вейерштрасса существует k>0 такое что k для любого x принадлежащего [a;b] то есть для любого n принадлежащего N существует x_n принадлежащая [a;b] такая что M-1/n<f(x_n) M (1)

x_n ограничена следовательно по теореме Больцано-Вейерштрасса существует сходящаяся последовательность x_nk

f(x) непрерывна в точке c

переходя к неравенству (1) мы получаем, что

M= )=

то есть f(c)=M

ч.т.д.

Замечания.

1)Значение функции в точках x^* и x^** оказываются соответственно наибольшим и наименьшим значением функции f(x) на [a;b]

f(x^**)≤f(x)≤f(x^*)

2)Вторая теорема Вейерштрасса неверна для интервалов. Функция, непрерывная на (a;b) может не достигать на нем своих точных граней.

f(x)=x на (0;1) не достигает своей точной верхней грани 1 и точной нижней грани 0

БИЛЕТ 26. Теорема о нуле непрерывной функции. Теорема Коши о промежуточном значении.

Определение: непрерывна на , если непрерывна в точке ,

непрерывна на , если непрерывна в точке , и

Существует , .

Теорема: Пусть определена на и , причем . Тогда

.

Пусть , . Используем метод деления отрезка пополам.

Обозначим: , .

Определим

1) =0 .

2) < 0 , .

3) > 0 , и так далее.

. .

По лемме о вложенных отрезках: , то есть .

непрерывна в точке

.

.

0 ( )

.

.

0 ( )

Следствие (т. о промежуточном значении непрерывной функции):

Пусть определена на и , , ,

Тогда : .

Пусть для ограничения .

Рассмотрим произвольн. :

непрерывна на .

Из этих двух утверждений следует:

, то есть .

БИЛЕТ 30. Существование и непрерывность функции, обратной для непрерывной и строго монотонной функции.

Определение.

Пусть функция определена f_i X Y, где X = D(f) и Y= E(f) тогда

1. f обратимая, если

2. Пусть f - обратимая, тогда g(y): Y X определяется по следующему правилу: она ставит в соответствие , такой что = называется обратной функцией для функции и обозначается

Замечание.

График функции и обратной для нее совпадают, только аргумент обратной функции рассматривается на оси Oy. Но если, следуя нашим привычкам, аргумент обозначать буквой х и откладывать его на оси ординат ( то есть вместо уравнения писать ) то графики функции (формула) и обратной ей функции (формула) окажутся симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов (прмер )

Лемма 1.

Пусть

Тогда: 1) в каждой точке конечные пределы

2)в концевых точках существуют конечные пределы 3)

Доказательство.

Не теряя общности будем считать, что

1. Для существует левый предел в точке . Фиксируем произвольный Из условия монотонности (возрастания) следует, что для множество значений f на ограничена сверху числом

• 

• Для

Положим, . Так как f- неубывающая, то (с учетом (•) )

2)Аналогично – существование конечного правого предела.

Сдедствие.

Если определена и монотонна на , то она может иметь на лишь точки разрыва первого вида.

Доказательство

Очевидно.

Лемма 2.

Монотонная функция непрерывна на [a;b] => E(f) = [f(a); f(b) ] ( или [f(b); f(a) ])

Доказательство.

Не теряя общности, чситаем, что f - неубывающая на [a;b].

Из монотонности f . Для по теореме Коши о промежуточных значениях непрерывной функции f

Докажем непрерывность f(x) от противного.

Пусть

Пусть

1. 

Теоремма.

Пусть 1)

2)

Тогда 1) на отрезке 2)g(y) ???

Доказательство.

1. Соглано определению обратной функции

Уравнение f(x) имеет единственное решение

2. Строгое возрастание монотонной функции (от противного). Предположим, что

3. Непрерывная обратная функция E(y) = [a,b],

ВОПРОС №31

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

Опр.1:(f(x) непрерывна в т. x₀ R)

Опр. По Гейне:(f(x) непрерывна в т. x₀ R) ( );

Опр. По Коши:(f(x) непрерывна в т. x₀ R) ( );

Замечания:

, то есть для непрерывной функции можно переставить знак функции и знак предела.

Отсюда

Опр.2:(f(x) непрерывна в т. x₀ R)

Теорема:

Определение 1 и определение 2 эквивалентны.

Доказательство: очевидно.

Пример 1:f(x)=c (const)– непрерывна в x₀ R, т.к f(x₀)=c-c=0

Пример 2:f(x) x – непрерывна в x₀ R, т.к f(x₀)= x-x₀ = x

Пример3: f(x) sinx– непрерывна в x₀ R;

Лемма:Для x R справедливо неравенство |sinx| |x|

Доказательство:

:

Теорема:

Основные элементарные функции непрерывны на множествах определения

Доказательство:

Было доказано, что непрерывна постоянная функция y=sinx, y=cosx

Теорема доказана для функций: tgx и ctgx, и для обратных функций.

Опр.:

Элементарными называются функции, получаемые из основных элементарных с помощью конечного числа арифметических операций и суперпозиции.

y – элементарная функция

Теорема:

Любая элементарная функция непрерывна во всех внутренних точках.

Доказательство: Очевидно.

ВОПРОС №32

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ. ЗАМЕНА ФУНКЦИЙ ЭКВИВАЛЕНТНЫМИ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ ПРЕДЕЛОВ.

Опр.:

Пусть: 1)f(x), g(x), h(x) определены в ( ); 2)f(x)=g(x)*h(x) в ( ); 3)

Тогда f(x) и g(x) – эквивалентные функции при x→ω .

Теорема:

Пусть: 1) f и g определены (ω);

Тогда (f )

Доказательство: Очевидно

ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И БОЛЬШИХ ФУНКЦИЙ

ЗАМЕНА ФУНКЦИИ ЭКВИВАЛЕНТНЫМИ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ ПРЕДЕЛА.

Т еорема:

Пусть: 1)f(x) f1(x) и g(x) g1(x) при x→ω;