4.6.2. Вычисление пути, пройденного телом

Основные понятия и термины: определенный интеграл

План изучения темы:

1. Устный опрос

2. Теоретическая часть

3. Решение задач

Краткое изложение теоретических вопросов:

Пусть материальная точка движется прямолинейно с некоторой скоростью v=v(t). Требуется найти путь, который пройдет эта точка за промежуток времени от t=a до t=b.

Путь s вычисляется по формуле: s= .

Задача. Тело движется прямолинейно со скоростью v(t)=(3t²+4t+1) . Найти путь, пройденный телом за первые 3 с.

Решение. s=

Ответ: 48 м

Практические занятия не предусмотрены

Задания для самостоятельного выполнения:

1	Тело движется прямолинейно со скоростью v(t)=(2t2+1) . Найти путь, пройденный телом за первые 5 с.
2	Тело движется прямолинейно со скоростью v(t)=(2t3+1) . Найти путь, пройденный телом за промежуток времени от t=1с до t=3c.
3	Тело движется прямолинейно со скоростью v(t)=(12t-3t2) . Найти путь, пройденный телом от начала движения до остановки.

Форма контроля самостоятельной работы:

• Устный опрос

• Проверка тетрадей

Вопросы для самоконтроля по теме:

1. Как вычислить путь, пройденный материальной точкой, при помощи определенного интеграла?

Тема 4.7. Дифференциальные уравнения

4.7.1. Основные понятия дифференциального уравнения

Основные понятия и термины: дифференциальное уравнение

План изучения темы:

1. Устный опрос

2. Теоретическая часть

3. Практическая работа 49

4. Практическая работа 50

Краткое изложение теоретических вопросов:

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее независимую переменную, функцию, ее производные или дифференциалы. Решить дифференциальное уравнение – значит найти такую функцию, подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество. Эта функция называется решением дифференциальным уравнения.

Решение, содержащее произвольную постоянную с, называется общим решением дифференциального уравнения.

Решение, в которое подставлено конкретное числовое значение c, называется частным решением дифференциального уравнения. Значение c вычисляется при подстановке начальных данных в общее решение.

Задача нахождения конкретного частного решения данного дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию называется задачей Коши.

К дифференциальным уравнениям первого порядка относятся уравнения, в которые входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.

Определение 1. Уравнения вида , где - данные функции, называется уравнением с разделяющимися переменными.

Это уравнение можно переписать в виде и рассматривать как равенство двух дифференциалов. Решение таких уравнений выполняется непосредственным интегрированием.

Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

1. Производную функции переписать через её дифференциалы.

2. Члены с одинаковыми дифференциалами перенести в одну сторону равенства и вынести дифференциал за скобку.

3. Разделить переменные.

4. Проинтегрировать обе части равенства, найти общее решение.

5. Найти общее решение.

Практические занятия

1. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Задания для самостоятельного выполнения:

1
2
3
4

Форма контроля самостоятельной работы:

• Устный опрос

• Проверка тетрадей

Вопросы для самоконтроля по теме:

1. Как можно определить порядок дифференциального уравнения?

2. Сколько постоянных интегрирования имеет дифференциальное уравнение первого порядка?

3. Чем отличается дифференциальное уравнение от алгебраического?