Задание 3

Решите уравнения.

1. . 2. .

3. .

Пример 5. Решите уравнение .

Решение

Представим в виде суммы и перенесём в левую часть уравнения. Уравнение примет вид: . Разложим каждое из выражений в скобках на множители, как разности квадратов двух выражений. Дальнейшие преобразования очевидны:

,

,

.

Последнее уравнение равносильно совокупности уравнений:

.

Ответ: x = -1.

Пример 6. Решите уравнение .

Решение

Рассмотрим левую часть уравнения как сумму кубов двух выражений

, а правую часть уравнения, как сумму кубов .

В результате получим:

,

,

,

. Это уравнение равносильно совокупности:

Ответ: .

6.2. Уравнения с параметрами

Пример 7. Решите уравнение .

Решение

Преобразуем уравнение: ,

.

Полученное уравнение равносильно совокупности:

Первое уравнение имеет корень x = -a. Второе уравнение, квадратное, исследуем в зависимости от параметра a.

Находим дискриминант: .

Если a = 2 или a = -2, то уравнение имеет один корень .

Если , то квадратное уравнение не имеет корней.

Если a < -2 или a > 2, тогда квадратное уравнение имеет два корня:

.

Ответ:

1. Если , то уравнение имеет один корень x = -a.

2. Если a = 2 или a = -2, то уравнение имеет два корня .

3. Если a < -2 или a > 2, тогда уравнение имеет три корня:

, .

Пример 8. Решите уравнение на множестве действительных чисел

.

Решение

Раскроем скобки и перенесем все члены из правой части в левую, получим:

представим в виде: , подставим это значение в уравнение и после группировки будем иметь:

.

Полученное уравнение равносильно совокупности

Перовое уравнение имеет корень x = -a, для второго уравнения проведем исследование в зависимости от значений параметра a.

Найдём дискриминант: . При любых действительных значениях a дискриминант положителен, значит, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня:

.

Ответ: , .

6.3. Решение уравнений вида , где - четное

Уравнения вида подстановкой , , где , сводится к более простому алгебраическому уравнению.

Пример 9. Решить уравнение .

Решение

Положим и , получим уравнение

.

Постоянную c находим из системы уравнений и тогда уравнение станет таким:

,

.

Далее находим .

Ответ: x = 2.

Пример 10. Решите уравнение .

Решение

Положим и , получим уравнение

.

Постоянную c находим из системы уравнений и тогда уравнение станет таким: .

Для возведения двучлена в 6-ю степень воспользуемся формулой бинома Ньютона¹

.

Положим , получим уравнение: .

Так как сумма коэффициентов последнего уравнения равна 0 (1+15+15-31=0), тогда z = 1 является корнем уравнения, значит, левая часть его делится на . Выполним деление по схеме Горнера:

1	15	15	-31	1
1	15 + = 16	15 + = 31	-31 + = 0

Получим частное: .

Уравнение примет вид:

.

не удовлетворяют условию и являются посторонними.

. Тогда .

Ответ: .