Задание 1

Решите по формуле Кардано уравнения

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

11.3. Уравнения четвертой степени

Решение уравнения четвертой степени

(6)

с произвольными комплексными коэффициентами сводится к решению некоторого вспомогательного кубичного уравнения. Осуществляется это методом, принадлежащим Феррари.

Предварительно уравнение (6) подстановкой приводится к виду

(7)

Затем левая часть этого уравнения следующим образом тождественно преобразуется при помощи вспомогательного параметра :

или

. (8)

Подберем теперь так, чтобы многочлен, стоящий в квадратных скобках, стал полным квадратом. Для этого он должен иметь один двукратный корень, т. е. должно иметь место равенство

. (9)

Равенство (9) является кубичным уравнением относительно неизвестного с комплексными коэффициентами. Это уравнение имеет, как мы знаем, три комплексных корня. Пусть будет один из них; он выражается ввиду формулы Кардано при помощи корней через коэффициенты уравнения (9), т. е. через коэффициенты уравнения (7),

При этом выборе значения для многочлен, стоящий в квадратных скобках в (8), имеет двукратный корень , и поэтому уравнение (8) принимает вид

т. е. оно распадается на два квадратных уравнения:

(10)

Так как от уравнения (7) к уравнениям (10) мы пришли при помощи тождественных преобразований, то корни уравнений (10) будут служить корнями и для уравнения (7). Легко видеть вместе с тем, что корни уравнения (7) выражаются через коэффициенты при помощи корни. Мы не будем выписывать соответствующих формул ввиду их громоздкости и практической бесполезности, не станем также исследовать отдельно случай, когда уравнение (7) имеет действительные коэффициенты.

Замечания об уравнениях высших степеней

В то время как методами решения квадратных уравнений владели еще древние греки, открытие изложенных выше методов решения уравнений третьей и четвертой степени относится к XVI веку. После этого почти три столетия продолжались безуспешные попытки сделать следующий шаг, т. е. найти формулы, выражающие при помощи радикалов корни любого уравнения пятой степени (т. е. уравнения пятой степени с буквенными коэффициентами) через его коэффициенты. Эти попытки прекратились лишь после того, как Абель в двадцатых годах прошлого века доказал, что такие формулы для уравнений n-й степени при любом заведомо не могут быть найдены.

Этот результат Абеля не исключал, однако, возможности того, что корни всякого конкретного многочлена с числовыми коэффициентами все же каким-либо способом выражаются через коэффициенты при помощи некоторой комбинации радикалов, т. е., как принято говорить, что всякое уравнение разрешимо в радикалах. Полностью вопрос об условиях, при которых данное уравнение разрешимо в радикалах, был исследован Галуа в тридцатых годах прошлого века. Оказалось, что для всякого n, начиная с n = 5, можно указать неразрешимые в радикалах уравнения n-й степени даже с целочисленными коэффициентами. Таким будет, например, уравнение