Задание 2

Решите уравнение.

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. .

11. Для любителей и знатоков

11.1. Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Мы познакомились с решением трехчленных кубических уравнений по формуле Кардано, затем решали уравнения, степени выше второй, используя различные частные методы. Но существует метод решения кубических уравнений с любыми комплексными коэффициентами по формуле, когда корни выражаются через коэффициенты уравнения.

Пусть дано кубическое уравнение (1) с любыми комплексными коэффициентами.

Решение

Заменим в уравнении (1) переменную x новым неизвестным y: получим уравнение:

Положим получим трехчленное кубическое уравнение вида: (2).

Мы уже знаем, что последнее уравнение решается по формуле Кардано:

(1')

(2)

(3)

11.2. Кубические уравнения с действительными коэффициентами

Если коэффициенты неполного кубического уравнения (4) - действительные числа, то основную роль играет знак выражения , стоящего в формуле Кардано под знаком квадратного корня.

Знак этого выражения противоположен знаку выражения

,

которое называется дискриминантом неполного кубического уравнения. В дальнейших рассуждениях используется и указывается знак именно этого дискриминанта.

1. Пусть D < 0. В этом случае в формуле Кардано под знаком каждого из квадратных корней стоит положительное число, а поэтому под знаком каждого из кубических корней оказываются действительные числа. Кубический корень из действительного числа имеет одно действительное значение и два сопряженных комплексных корня. Пусть будет действительное значение корня ; тогда значение радикала , соответствующее на основании формулы , также будет действительным ввиду действительности числа p.

Таким образом, корень уравнения (4) оказывается действительным. Два других корня мы найдем, заменяя в формулах (3) корни из единицы и из выражения (5):

(5)

,

.

Эти два корня оказываются ввиду действительности чисел и сопряженными комплексными числами, причём коэффициент при мнимой части отличен от нуля, так как , - эти числа являются значениями различных кубических корней.

Таким образом, если D < 0, то уравнение (4) имеет один действительный и два сопряжённых комплексных корня.

2) Пусть D = 0. В этом случае

.

Пусть будет действительное значение радикала ; тогда также будет, ввиду равенства , действительным числом, причем . Заменяя в формулах (3) через и используя очевидное равенство , мы получим:

.

Таким образом, если D = 0, тo все корни уравнения (4) действительны, причем два из них равны между собой..

3) Пусть, наконец, D > 0. В этом случае в формуле Кардано под знаком квадратного корня стоит отрицательное действительное число, поэтому под знаками кубичных корней стоят сопряженные комплексные числа. Таким образом, все значения корней и будут теперь комплексными числами. Среди корней уравнения (4) должен, однако, содержаться хотя бы один действительный. Пусть это будет корень

.

Так как действительны и сумма чисел и , и их произведение, равное , то числа и сопряжены между собой как корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами. Но тогда сопряжены между собой и числа и , а также числа и , откуда следует, что корни уравнения (4)

,

также будут действительными числами.

Мы получили, что все три корня уравнения (4) действительны, причем легко показать, что среди них нет равных. В самом деле, в противном случае выбор корня х₁ можно было бы осуществить так, чтобы имело место равенство x₂ = x₃ откуда

,

т. е. , что явно невозможно.

Таким образом, если D > 0, то уравнение (4) имеет три различных действительных корня.

Рассмотренный сейчас последний случай показывает, что практи­ческое значение формулы Кардано весьма невелико. В самом деле, хотя при D > 0 все корни уравнения (4) с действительными коэф­фициентами являются действительными числами, однако разыскание их по формуле Кардано требует извлечения кубичных корней из комплексных чисел, что мы умеем делать лишь переходом к триго­нометрической форме этих чисел. Поэтому запись корней с по­мощью корней теряет практическое значение. При помощи методов, выходящих за рамки этой главы, можно было бы дока­зать, что в рассматриваемом случае корни уравнения (4) вообще никаким способом не могут быть выражены через коэффициенты при помощи корней с действительными подкоренными выраже­ниями. Этот случай решения уравнения (4) называется неприводи­мым (не смешивать с неприводимостью многочленов!).

Пример 1. Решите уравнение по формуле Кардано

.

Решение

Положим , получим ,

.

Здесь , поэтому

,

- уравнение имеет один действительный и два сопряжённых комплексных корня.

По формулам (1')

находим , , .

Два других корня найдём по формулам

,

Ответ: .

Пример 2. Решите уравнение по формуле Кардано

.

Решение

Преобразуем уравнение, разделив обе его части на коэффициент при , т. е. на 27, получим уравнение: .

Положим , получим ,

,

, .

Здесь , поэтому

,

- уравнение имеет три действительных корня, причём два из них равны между собой.

По формуле

,

находим .

Ответ: .

Пример 3. Решить уравнение, применяя формулу Кардано

.

Решение

Подстановка приводит это уравнение к виду

,

, .

Здесь , поэтому

,

- уравнение имеет три различных действительных корня, но если оставаться в области действительных чисел, формула Кардано к этому уравнению не применима, хотя его корнями являются действительные числа .

Ответ: .