Задание 1
1. При каких значениях параметра a уравнение имеет единственный корень:
1)
;
2)
.
2. При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно три корня:
1)
;
2)
.
9.1.2. Зависимости между корнями уравнения и его коэффициентами
Пусть
дано приведенное биквадратное уравнение
.
Допустим,
что это уравнение имеет действительные
корни и пусть
и
- корни этого уравнения, тогда
и
также будут являться корнями этого
уравнения, в силу четности функции
.
Получим:
,
.
Отсюда
находим:
.
Пример
5. Составить биквадратное уравнение,
имеющее в числе своих корней
и
.
Решение
Из
вышеприведенной теореме следует, что
для уравнения
,
имеем
.
Подставляя значения вместо корней
уравнения, находим:
.
Получим
уравнение:
.
Ответ: .
Пример
6. Найти q в уравнении
,
зная, что
(
и
- корни уравнения).
Решение
Если
и
- корни уравнения, тогда
,
.
Получаем систему уравнений:
Ответ:
.
Пример 7. Определить, при каком значении корни уравнения
составляют арифметическую прогрессию.
Решение
Во-первых, выясним, при каких значениях уравнение вообще будет иметь корни. Очевидно, для этого необходимо и достаточно, чтобы выражение
(следуя аналогии с квадратным уравнением, назовем его дискриминантом) было больше нуля или равнялось нулю.
.
Решать неравенство не будем, но, когда будут найдены значения , проверим, будет ли выполняться это неравенство.
Во-вторых.
Пусть
и
- корни уравнения, причем
,
тогда
и
,
также будут являться корнями уравнения.
Расположим
эти корни в порядке возрастания, получим
следующую последовательность:
.
Поскольку
эти корни должны образовывать
арифметическую прогрессию, получим:
.
С
другой стороны, известно, что
и
.
Получим систему уравнений:
,
-
эти корни входят в область допустимых
значений.
Ответ: .
Задание 2
1.
Составить биквадратное уравнение с
рациональными коэффициентами, зная,
что один из корней равен
.
2. Определить, при каком значении m корни уравнения
составляют арифметическую прогрессию.
10. Трехчленные кубические уравнения
Рассмотрим один из методов решения неполных кубических уравнений на частных примерах.
Пример
1. Решите
уравнение
.
Решение
Положим
и подставим в уравнение, получим:
или
.
Поскольку
и
выбраны произвольно, потребуем, чтобы
,
и поэтому получаем:
.
С другой стороны, из равенства находим:
.
Рассмотрим
и
,
как корни квадратного уравнения, сумма
корней которого равна -16, а произведение
64.
Получим
уравнение:
,
;
.
Тогда
.
После того, как найден один из действительных корней, следует проверить, а не существуют ли другие действительные корни.
Для
этого, применяя теорему Безу, устанавливаем,
что кубический трёхчлен будет нацело
делится на двучлен
.
Выполним деление по схеме Горнера:
-
1 0 -12 16 -4
1
Уравнение
примет вид:
.
Получим
еще один корень:
.
Ответ:
.
Пример
2. Решите
уравнение
.
Решение
Положим
и подставим в уравнение, получим:
или
.
Поскольку
и
выбраны произвольно, потребуем, чтобы
,
и поэтому получаем:
.
С другой стороны, из равенства находим:
.
Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна -9, а произведение 8.
Получим
уравнение:
,
;
Тогда
.
После того, как найден один из действительных корней, следует проверить, а не существуют ли другие действительные корни.
Для
этого, применяя теорему Безу, устанавливаем,
что кубический трёхчлен будет нацело
делится на двучлен
.
Выполним деление по схеме Горнера:
-
1 0 -6 9 -3
1
Уравнение
примет вид:
.
Уравнение
не имеет действительных корней.
Получим
один корень:
.
Ответ: .
Пример
3. Решите
уравнение
.
Решение
Положим и подставим в уравнение, получим:
или
.
Поскольку
и
выбраны произвольно, потребуем, чтобы
,
и поэтому получаем:
.
С другой стороны, из равенства находим:
.
Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна -63, а произведение -64.
Получим
уравнение:
,
;
Тогда
.
После того, как найден один из действительных корней, следует проверить, а не существуют ли другие действительные корни.
Для этого, применяя теорему Безу, устанавливаем, что кубический трёхчлен будет нацело делится на двучлен . Выполним деление по схеме Горнера:
-
1 0 12 63 -3
1
Уравнение
примет вид:
.
Уравнение
не имеет действительных корней.
Получим
один корень:
.
Ответ: .
Пример
4. Решите
уравнение
.
Решение
Положим и подставим в уравнение, получим:
или
.
Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем:
.
С другой стороны, из равенства находим:
.
Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна -4, а произведение 8.
Получим
уравнение:
,
;
Квадратное уравнение корней не имеет.
Однако,
первоначальное кубическое уравнение
имеет действительные корни. В самом
деле, среди делителей свободного члена:
нетрудно найти корень:
.
В самом деле:
.
Разделим,
по схеме Горнера, трёхчлен
на x
- 2, получим:
-
1 0 -6 4 2
1
Уравнение
примет вид:
.
Решим квадратное уравнение:
.
Ответ:
.
Пример
5. Решите
уравнение
.
Решение
Положим и подставим в уравнение, получим:
или
.
Поскольку
и
выбраны произвольно, потребуем, чтобы
,
и поэтому получаем:
.
С другой стороны, из равенства находим:
.
Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна -2, а произведение -8.
Получим
уравнение:
,
;
Тогда
.
После того, как найден один из действительных корней, следует проверить, а не существуют ли другие действительные корни.
Для
этого, применяя теорему Безу, устанавливаем,
что кубический трёхчлен будет нацело
делится на двучлен
.
Выполним деление по схеме Горнера:
1
0 6
2
|
1
|
Уравнение
примет вид:
.
Уравнение
не имеет действительных корней, т. к.
его дискриминант отрицателен:
.
Уравнение
имеет один действительный корень:
.
Ответ: .