2.3.2 Уравнение неразрывности

Основным условием, которое должно соблюдаться при течении жидкости или газа, является непрерывность изменения параметров потока в зависимости от координат и времени. Это значит, что при течении жидкости должны быть соблюдены условия «сплошности». Жидкость или газ должны двигаться в соответствующих каналах как сплошная среда без разрывов. Сформулируем это условие. Отнесем поток жидкости к системе координат x, y, z (рис.2.2.11).

Рис.2.2.11.

В потоке выберем точку М с координатами x, y, z. Изолируем неподвижный объем в форме параллелепипеда со сторонами dx, dy и dz. Составляющие скорости течения жидкости в точке М равны: u_x – вдоль оси x, u_y – вдоль оси y, u_z – вдоль оси z. Через площадку параллелепипеда dydz, в течение времени dt внутрь параллелепипеда втекает масса жидкости, равная ρu_xdydzdt.

Из объема параллелепипеда в течение времени dt через площадку dydz, с координатами x + dx, y, z вытекает масса жидкости, равная

(39)

Следовательно, при течении жидкости с составляющей скорости u_x масса жидкости в объеме dxdydz изменяется на величину

(40)

При прохождении жидкости через другие грани параллелепипеда масса жидкости в объеме dxdydz можно записать:

(41)

Суммарное изменение массы жидкости в объеме dxdydz равно:

(42)

Изменение массы жидкости в объеме dxdydz может произойти только за счет изменения плотности ρ за период времени dt. В общем случае плотность жидкости или газа является функцией координат x, y, z и времени t, или ρ = f(x,y,z,t) Плотность жидкости в объеме, ограниченном dxdydz, может меняться как , а масса жидкости в элементарном объеме за период времени dt на .

Для сохранения «сплошности» жидкости должно быть соблюдено условие:

(43)

Уравнение (41) в гидромеханике называют уравнением неразрывности.

Если течение установившееся, то , в этом случае уравнение «сплошности» можно представить следующим образом:

(44)

В том случае если жидкость несжимаемая ρ = const и тогда уравнение (44) примет вид:

(45)

Рассмотрим уравнение «сплошности» (сохранения массы движущейся жидкости) для случая течения элементарной струйки при установившемся движении. Схема течение массы жидкости в элементарной струйке представлена на рис. 2.2.12. Пусть сечение 1-1 трубки тока имеет площадь dω₁, и в этом сечении скорость жидкости u₁, а ее плотность ρ_1. Площадь сечения 2-2 трубки тока равна dω₂, скорость сечения жидкости u₂ и ее плотность ρ₂. Скорости струйки направлены по касательной к стенкам трубки тока, поэтому через стенки обмен массой с окружающей жидкостью отсутствует. Через сечение 1-1 в трубку тока в единицу времени поступает масса жидкости, равная ρ₁u₁ω₁. Через сечение 2-2 вытекает в единицу времени масса жидкости, равная ρ₂u₂ω₂. В трубке тока масса жидкости, находящаяся между сечениями 1-1, 2-2 и 3-3 остается постоянной, следовательно, условие «сплошности» потока в трубке тока будет: = = = const ,т.е. вдоль трубки тока произведение ρuω остается постоянным.

Рис.2.2.12.