2.4. Прикладная гидравлика
2.4.1. Виды гидравлических сопротивлений
Потеря напора при движении вязкой жидкости.
Для определения величины потерь энергии, при движении реальной вязкой жидкости, применяют уравнение Бернулли (). Для его решения используется также уравнение сохранения массы (равнения расхода) ().
( )
( )
Таким образом , в
этих равнениях остаются три неизвестных:
.
Для определения этих величин необходимо
знать зависимость потерь напора от
скоростного напора.
В общем случае потери напора связанные с движением жидкости складываются из линейных потерь (потери связанные с трением жидкости о стенки канала) локальных потерь напора (местных потерь).
Формула Дарси –Вейсбаха.
Используем метод размерности для определения потерь напора на трение, возникающих при равномерном напорном движении жидкости в трубах.
Опыты показывают, что величина потерь напора на трение hтр при движении жидкости в трубах может зависеть от cледующих факторов:
диаметра трубы d и ее длины L;
физических свойств жидкости (плотности р и вязкости );
средней скорости движения в трубе v;
средней высоты выступов шероховатости k на стенках трубы.
Напишем интересующую нас функциональную зависимость в виде
где
—потери
давления на длине
потока,
равной l, связанные с потерей напора
формулой
' ( )
Вид функции f в уравнении ( ) неизвестен. Некоторую помощь в установлении его может оказать применение к рассматриваемому случаю ПИ-теоремы.
Перепишем уравнение (Х.5) в виде
(
)
учитывая, что потеря на трение всегда прямо пропорциональна длине рассматриваемого участка.
Для измерения входящих в формулу ( ) n=6 величин требуются m=3 основные единицы: масса, время и длина.
В соответствии с ПИ-теоремой уравнение ( ) может быть представлено в форме, содержащей п—т=3 безразмерных отношений (чисел ПИ), т. е. вместо ( ) можно записать
,
( )
где
— безразмерные комплексы.
Для определения
чисел
выберем из всех переменных три (по числу
основных единиц измерения), включающие
все основные единицы измерения, например
v,
d
и р. Составим теперь уравнения размерностей,
объединяющие выбранные переменные с
каждой из других переменных по очереди,
т, е.:
( )
(
)
( )
В выражениях для
нужно подобрать показатели при d,
v
и р таким образом, чтобы числа
не имели размерности,
Нетрудно показать (проверив размерности), что
(
)
(
)
(
)
Так, для числа
из условия
однородности
размерностей
Отсюда вытекают следующие уравнения:
при L:
при Т:
при М:
т.е.
и
Подставляя ( ) — ( ) в ( ), имеем
так как нас
интересует потеря напора, то разрешаем
это уравнение относительно
:
или
( )
1
Учитывая формулу ( ), имеем
или, обозначая
( )
где
—
безразмерное число, речь о котором будет
идти ниже,
окончательно получим
Природа гидравлических сопротивлений.
Потеря напора по длине и местные.
Ламинарные и турбулентные режимы движения жидкости. Критическое значение числа Re
Формула
Дарси–Вейсбаха.
Касательное напряжение
присутствует в формуле ( ) и в основном
уравнении равномерного движения ( ).
С учетом
и
получаем
откуда
В напорных системах
наиболее часто применяются круглые
трубы, для сечения которых гидравлический
радиус
При равномерном движении потери энергии
состоят только из путевых потерь на
трение
и в соответствии с уравнением (4.3) они
пропорциональны касательным напряжениям
на стенках трубы.
Выразив в формуле
( ) гидравлический радиус R
через диаметр трубы d
и, обозначив
получим формулу Дарси-Вейсбаха для
расчета потерь на трение по длине:
Безразмерный
коэффициент l
называется коэффициентом трения или
коэффициентом Дарси. Он, также как и
коэффициент
,
определяется особенностями движения
жидкости.
Формула Вейсбаха.
Комплекс
входящий сомножителем скоростного
напора в формулу Дарси - Вейсбаха ( ),
характеризует сопротивление в целом
участка движения, на котором определяется
потеря энергии
,
и называется коэффициентом сопротивления
по длине:
(4.8)
Коэффициент сопротивления – величина безразмерная, и, включив его в формулу ( ), получим ее более компактный вид:
(4.9)
Использовать коэффициент сопротивления удобно тем, что исключается необходимость учитывать по отдельности различные факторы, влияющие на сопротивление изучаемого участка движения жидкости. Он позволяет рассматривать это влияние интегрально, в целом, что особенно важно для участка местных сопротивлений. Здесь касательные напряжения по боковой поверхности потока распределены более сложно. чем при равномерном движении. В общем случае на местные потери энергии и коэффициенты сопротивления влияют и другие факторы, в частности, распределение гидродинамического давления по боковой поверхности потока на участке сопротивления. В этих случаях используются экспериментальные данные для определения потерь энергии их коэффициентов сопротивления. При расчете потерь энергии используется формула, аналогичная по структуре (4.9):
(4.10)
Эта зависимость
известна как формула Вейсбаха. При
расчете местных потерь энергии
по формуле Вейсбаха используются
коэффициенты местных сопротивлений
,
а при расчете потерь энергии по длине
– коэффициенты сопротивлений на трение
или формула Дарси- Вейсбаха.
Формула Шези.
В ряде случаев, особенно при расчетах
безнапорных потоков, возникает
необходимость определять скорость
движения и другие характеристики по
известным потерям энергии, а точнее –
по заданному гидравлическому уклону
.
В качестве исходной можно использовать формулу (4.7) Дарси-Вейсбаха, решая при этом обратную задачу. Подставляя в нее известные выражения и d=4R, получаем так называемую формулу Шези:
(4.11)
где
(4.12)
– коэффициент Шези. Анализируя формулы (4.5), (4.7) и (4.12), можно выяснить, что коэффициент Шези имеет ту же природу, что и коэффициент сf и l. Но в отличие от них он имеет размерность: СИ dim C=L0.5T-1
(4.13)
– скоростная характеристика (модуль скоростей), она численно равна скорости при гидравлическом уклоне, равном единице. Известно, что размерность скоростей характеристики совпадает с размерностью скорости.
На базе формулы Шези (4.11) можно записать выражение расхода
(4.14)
где
(4.15)
– расходная характеристика (модуль расхода),величина, численно равная расходу при гидравлическом уклоне, равном единице. Размерности расхода и расходной характеристики тоже одинаковы.
Полученные выше формулы, как уже отмечалось, широко используются и в расчетах напорных систем при равномерном движении, например, трубопроводов. Потери напора при этом, учитывая , равны:
(4.16)