32. Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференциалы высших порядков, неинвариантность их формы в общем случае.

Дифференциалы высших порядков. Диф-ал от диф-ла первого порядка dy=f’(x)dx функции y=f(x) (рассматриваемого только как ф-и переменной х т.е. приращение аргумента х (dx) принимается постоянным, при условии что повторное приращ-е переменной х совпадает с начальным) называется вторым диф-ом d²f(x):d(df(x))=d(f’(x)dx)=d(f’(x))dx=f”(x)dxdx=f”(x)dx² отсюда f”(x)=d²f(x)/dx²; Опр. Диф-ом n-го порядка n=1,2… называется дифференциалом от дифференциала порядка n-1 при условии что в диф-ле берутся одни и те же приращения dx, независимого от х. dⁿf(x)=d(d^n-1f(x)) не трудно видеть, что dⁿf(x)=f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ (dxⁿ=(dx)ⁿ)  f⁽ⁿ⁾(x)=dⁿf(x)/dxⁿ.

Неинвариантность формы дифференциала порядка выше первого

Рассмотрим случай, когда х является не независимой переменной, а функцией от другой переменной

 

y = f(x),     x = j(u).

 

В силу инвариантности формы первого дифференциала имеем

 

dy = f '(x) dx.

(3)

 

Теперь в правой части формулы (3) от переменной u зависит не только функция f(x), но и дифференциал dx . Следовательно

 

dx = j '(u) du,     d2 x = j''(u) du2 .

 

Таким образом, в общем случае

 

d2 y = f''(x) dx2 + f'(x) d2 x.

(4)

 

Сравнивая формулы (2) и (4), убеждаемся, что дифференциалы второго (и более высоких порядков) не обладают инвариантностью формы.

32. Экстремумы функции. Необходимые условия экстремума (теорема Ферма). Точки экстремума

   Экстре́мум— максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Точка x₀ называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f (x), если для всех значений аргумента из некоторой достаточно малой δ - окрестности точки х₀ выполняется неравенство

f (x) < f (x₀) ( f ( x) > f ( x₀ ) )

при х ≠ x₀.    Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием экстремум. Из определения следует, что понятие экстремума носит локальный характер в том смысле, что неравенство f (x) < f ( x₀) ( f (x) > f ( x₀ )) может и не выполняться для всех значений х в области определения функции, а должно выполняться лишь в некоторой окрестности точки x₀.    

Необходимое условие экстремума

32. Теорема Лагранжа о конечных приращениях. Различные формы записи формулы Лагранжа.

Формы записи формулы Лангража:

F(a+∆x)-f(a)=f′(a+θ∆x)∆x

∆y=f′(a+ θ∆x)∆x

32. Теорема Коши о конечных приращениях (б/д).

Пусть ф-и f и g непрерывны на отрезке f,g[a,b], и диф-мы в каждой точке интервала т.е.  f’(x), g’(x), x(a,b), g’(x)0, x(a,b) тогда найдется точка (a,b): (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’()/g’().