11. Теорема о пределе ограниченной и монотонной последовательности

Теорема (Вейерштрасс). Любая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Доказательство. Докажем теорему для монотонной возрастающей последовательности  . Докажем, что точная верхняя граница для последовательности   и будет ее пределом.

Действительно, по определению точной верхней границы

Кроме того, какое бы ни взять число  , найдется такой номер  , что

Так как последовательность монотонна, то при   будет  , а значит, и   и выполняются неравенства

откуда и следует, что  .

12. Число «е» как предел последовательности

  Значение предела вида

обозначается символом е (натуральное число).   Рассмотрим последовательность с общим членом в виде

.

Эта последовательность монотонно возрастает и ограничена. Для доказательства этого разложим

по биному Ньютона:

Выражение в каждой скобке представляет собой правильную дробь. Если выражения в каждой из этих скобок заменить нулём, то правая часть равенства уменьшится, и вместо равенства получим неравенство вида

При n > 1 все слагаемые положительны, причём с возрастанием номера n увеличивается и число слагаемых, и каждое слагаемое в отдельности. Следовательно, последовательность

возрастает с возрастанием номера n, начиная с наименьшего значения, равного двум. Если же в правой части выражения в каждой скобке заменить единицей, а все множители знаменателей, начиная с третьего — на двойки, то получим сумму, большую первоначальной:

.

По формуле суммы n членов геометрической прогрессии

имеем

.

Поэтому  . Таким образом, последовательность с общим членом   возрастает с возрастанием номера n и ограничена сверху, следовательно, она имеет предел, который заключён между числами 2 и 3. Этот предел обозначают буквой е.

13. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Всякая предельная точка подпоследовательности является предельной точкой последовательности .

ТЕОРЕМА 2. Если последовательность имеет предельную точку В, то существует сходящаяся ее подпоследовательность, имеющая В своим пределом.

ДОК. Выберем в каждом отрезке , описанном в ТЕОРЕМЕ 1, член последовательности . Тогда подпоследовательность , , имеет по построению число В своим пределом.

В примере (2) подпоследовательность , имеет предел В₁=1, подпоследовательность , имеет предел В₂=0,5, подпоследовательность , имеет предел

В₃= - 0,5, подпоследовательность , имеет предел В₄= - 1, (4) подпоследовательность , имеет предел В₁=1, подпоследовательность , имеет предел В₂= - 1.

Теорема Больцано – Вейерштрасса: Монотонно возрастающая (убывающая) ограниченная сверху (снизу) последовательность должна иметь предел.  Действительно. В этом случае для возрастающей последовательности должна существовать такая точка ξ , для которой а) справа нет ни одной точки последовательности, б) слева от неё в любой как угодно малой окрестности существует бесконечно много членов последовательности. Если справа от точки ξ попалась хотя бы одна точка последовательности, то из-за возрастания последовательности справа от точки ξ будет бесконечно много членов числовой последовательности. Тогда это должна быть другая точка η > ξ и так далее. Если всё - таки такой точки не будет, то это приведёт к противоречию с требованием ограниченности последовательности. Так как в сколь угодно малой окрестности точки ξ (хотя бы слева) есть бесконечное число точек последовательности, то эта точка ξ является пределом этой последовательности. Если слева было бы конечное число точек последовательности и бесконечно справа, то это была бы другая точка ξ, что приводит опять к противоречию об ограниченности последовательности.  Существует другая формулировка теоремы Больцано – Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.  Доказательство. Пусть последовательность ограничена, то есть существует такой отрезок [а, b], что х_n  [а, b]   n = 1, 2, 3, … Разделим отрезок [а, b] пополам, и по крайней мере один из получившихся отрезков содержит бесконечно много элементов данной последовательности. Пусть это будет отрезок [а₁, b₁], и так далее. Получим систему вложенных отрезков (см. ниже) [a, b]   [a₁,b₁]   [a₂,b₂]  …   [a_n,b_n]   … Выберем по одному элементу последовательности из каждого отрезка

Последовательность {x_nk} является подпоследовательностью последовательности {x_n}. Так как

то существует такая точка ξ   [а, b], что

Так как a_n ≤ x_n ≤ b_n, то