Непрерывность функции в точке и на множестве. Арифметические операции с непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции.
Непрерывность функции в точке: Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности O(x0) точки x0 (включая саму точку x0).
Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если существует limx → x0 f(x) , равный значению функции f(x) в этой точке:
|
|
(1) |
т.е.
|
O( f(x0) ) O(x0) : x O(x0) f(x) O( f(x0) ) . |
|
Замечание. Равенство (1) можно записать в виде:
|
|
||
|
lim f(x) = f (lim x ), |
||
|
x → x0 |
||
Непрерывность функции на множестве: Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке множества.
То, что f(x) непрерывна на множестве X обозначается следующим образом: f(x)ОCX.
Определение :Функция называется непрерывной на отрезке [a,b] , если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка и непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.
То, что f(x) непрерывна на отрезке [a,b] обозначается следующим образом: f(x)ОC[a,b].
Арифметические операции с непрерывными функциями: Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны в точке х0. Тогда функции f (x) ± g (x), f (x)·g (x) и f (x) : g (x) также непрерывны в этой точке (в последнем случае предполагается g (х0) ≠ 0).
ТЕОРЕМА (арифметическая теорема о непрерывных функциях)
Пусть
функции
и
непрерывны в точке
.
Тогда сумма
,
произведение
и частное
,
-
непрерывные функции в точке
.
ДОК. Следует из арифметической теоремы о пределах.
Непрерывность
сложной функции: Введём
понятие сложной функции. Пусть
функции 
и 
определены
на множестве X и Y соответственно,
причём множество значений функции 
содержится
в области определения функции f Тогда
функцию, принимающую при каждом 
значение 
,
называют сложной функцией или суперпозицией
(композицией) функций
и f и
обозначают 
.
Теорема.
Если функция z=f(y) непрерывна
в точке 
,
а функция
непрерывна
в точке 
,
причём 
,
то в некоторой окрестности точки
определена
сложная функция 
,
и эта функция непрерывна в точке
.
○ Пусть
задано произвольное число 
.
В силу непрерывности функции f в
точке
существует
число 
такое,
что 
и
(2)
где
В
силу непрерывности функции
в
точке
для
найденного в (2) числа 
можно
указать число 
такое,
что
(2')
Из
условий (2) и (2') следует, что на
множестве 
определена
сложная функция
,
причём
,
где 
,
т.е.
.
.
Это
означает, в силу определения непрерывности,
что функция
непрерывна
в точке 
.●
Непрерывность функции в точке слева и справа. Классификация точек разрыва функции.
Непрерывность функции в точке означает, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
По
аналогии с понятием предела слева
(справа) вводится понятие непрерывности
слева (справа). Если функция f определена
на полуинтервале 
и 
,
т.е.f(a – 0)
= f(a),
то эту функцию называют непрерывной
слева в
точке а.
Аналогично,
если функция f определена
на полуинтервале 
и f(a + 0)
= f(a) ,
то эту функцию называют непрерывной
справа в
точке а.
Например, функция f(x) = [x] непрерывна справа в точке x = 1 и не является непрерывной слева в этой точке, т.к. f(1 – 0) = 0, f(1 + 0) = f(1) = 1.
Очевидно, функция непрерывна в данной точке тогда и только тогда, когда она непрерывна как справа, так и слева в этой точке.
Классификация точек разрыва функции.
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке
Существуют левосторонний предел
и
правосторонний предел 
Эти односторонние пределы конечны.
При этом возможно следующие два случая:
Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:
Такая точка называется точкой устранимого разрыва.
Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:
Такая
точка называется точкой
конечного разрыва.
Модуль разности значений односторонних
пределов
называется скачком
функции.
Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.