22. Необходимое и достаточное условие непрерывности монотонной функции. Достаточное условие существования обратной функции. (все без док-ва)

Теорема. Для того, чтобы монотонная функция f(x) определенная на [a,b] была непрерывна на [a,b] необходимо и достаточно, чтобы множество значений f(x) заполняло целиком отрезок с концами f(a), f(b) (либо[f(a), f(b)] либо [f(b), f(a)]).

Достаточное условие: Функция y = f(x) имеет обратную, если всякая прямая y = y₀ пересекает график функции y = f(x) не более чем в одной точке (она может совсем не пересекать график, если y₀ не принадлежит области значений функции f).

Это же условие можно сформулировать иначе: уравнение f(x) = y₀ при каждом y₀ имеет не более одного решения.

Условие того, что функция имеет обратную, заведомо выполняется, если функция строго возрастает или строго убывает.

23. Теоремы о нулях и промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции (Теорема Больцано-Коши).

Это утверждение о том, что если непрерывная функция принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.

Пусть дана непрерывная функция на отрезке   Пусть также   и без ограничения общности предположим, что   Тогда для любого   существует   такое, что  .

Доказательство

Рассмотрим функцию   Она непрерывна на отрезке   и  ,   Покажем, что существует такая точка  , что   Разделим отрезок   точкой   на два равных по длине отрезка, тогда либо   и нужная точка   найдена, либо   и тогда на концах одного из полученных промежутков функция   принимает значения разных знаков (на левом конце меньше нуля, на правом больше).

Обозначив полученный отрезок  , разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. Тогда, либо через конечное число шагов придем к искомой точке  , либо получим последовательность вложенных отрезков   по длине стремящихся к нулю и таких, что

Пусть   - общая точка всех отрезков  ,   Тогда   и в силу непрерывности функции 

Поскольку

получим, что 

24. Теорема об ограниченности функции, непрерывной на отрезке.( Первая теорема Вейершстрасса)

Всякая непрерывная функция на отрезке ограничена на этом отрезке.

ДОК. Предположим противное: функция на отрезке [a;b] неограниченна  . Последовательность ограничена по построению, поэтому по теореме у нее есть предельная точка . Поскольку функция непрерывна в точке c , она ограничена в окрестности этой точки ( теорема об ограниченности функции, имеющей предел),

т.е. . Тогда в окрестности может находиться не более конечного числа членов последовательности , что противоречит тому, что c – предельная точка последовательности .

Доказано, что множество значений функции ограничено. Тогда по теореме о точной верхней и нижней грани существует и .

ОПР. Если , то А называется наименьшим значением функции на отрезке [a;b].

Обозначение .

ОПР. Если , то В называется наибольшим значением функции на отрезке [a;b].

Обозначение .

25. Теорема о достижении функцией, непрерывной на отрезке, своих точных граней. (вторая теорема Вейерштрасса)

Если функция непрерывна на сегменте, то она достигает на нем своих граней (т.е. непрерывная на сегменте функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения). Доказательство: Пусть f(x)∈C([a;b]) , c=infx∈[a;b]f(x), d=supx∈[a;b]f(x). По первой  теореме Вейерштрасса c,d∈R . Докажем, что f достигает на [a;b] своих граней, т.е. найдутся такие точки x1,x2∈[a;b] , чтоf(x1)=c,f(x2)=d.

Докажем, например, существование точки x2.

По определению верхней грани имеем (∀x∈[a;b])(f(x)=d) . Предположим противное, т.е. точки x2, в которой f(x2)=dна [a;b], тогда на [a;b] выполняется условиеf(x)<d или d−f(x)>0 . Далее введем вспомогательную функцию ϕ(x)=1d−f(x) . ϕ(x) на [a;b] положительна и непрерывна (как отношение двух непрерывных на [a;b] функций и d−f(x)/=0) , поэтому по первой Т. Вейерштрасса ϕ(x) на [a;b]ограничена.  Это означает, что при некотором М>0 (∀x∈[a;b])(0<1d−f(x)≤M) , отсюда имеем f(x)≤d−1M<d .  Полученное неравенство противоречит тому, что d является верхней гранью функции f(x) на [a;b], т.е. наименьшим из верхних границ. Полученное противоречие и означает существование точки x2 такой, чтоf(x2)=d.

Аналогично доказывается существование точки x1∈[a;b] , такой что f(x1)=c.