3. Решение нелинейных уравнений. Постановка задачи

Пусть задана нелинейная функция действительного переменного f(x) непрерывная на некотором отрезке [a,b]R. Требуется найти корни уравнения f(x)=0 (1), т.е. нужно найти такие числа ., которые путем подстановки их в уравнение (1) превращают его в верное числовое равенство. Числа - корни ур-ия (1) или нулями функции f(x).

Нелинейные уравнения можно разделить на 2 класса: алгебраические и трансцендентные. А. уравнения содержат только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные).Прим:многочлен–целая алгебраическая функция .

На примере алгебраического многочлена можно показать, что корни уравнения (1) могут быть как действительными, так и комплексными числами. Поэтому при постановке задачи (1) в общем виде предполагается, что корни могут располагаться в комплексной области. Однако, мы будем рассматривать численные методы отыскания действительных корней, т.е. х_iR, сузив тем самым круг решений указанной задачи (1).

Методы решения нелинейных уравнений делят на прямые и итерационные.

Прямые методы позволяют выразить корни уравнения (1) в виде некоторого конечного соотношения (формулы).

Если известно, что уравнение (1) имеет корни, то для решения задачи (1) методом итераций сначала выбирается каким-либо образом некоторое значение корня уравнения (1),называемое начальным.Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении выбранного начального приближения путем многократного применения некоторого алгоритма – итерации.

Задача (1) методом итераций обычно решается в 2 этапа:

1. Необходимо установить существование корней уравнения (1) и разделить их;

2. Найти приближенное значение корней с заранее заданной точностью.

Т. о., на 1-ом этапе изучается наличие корней, их расположение и выделяются области, сод. только 1 корень.Немаловажным явл.также вопрос о кратности корней. Число x^* называется корнем k –ой кратности многочлена f(x)уравнения (1), если при x=x^* вместе с функцией f(x) обращаются в 0 ее производные до (k-1) порядка вкл.,т.е. .Корень кратности k=1 наз.простым. Если функция f(x) является полиномом k- ой степени, то из осн.теоремы алгебры следует, что функция f(x) имеет ровно k комплексных корней ,если нули функции считать с учетом их кратности.

Однако для произвольной функции f(x) обычно трудно определить, сколько корней имеет уравнение (1): ур-ие может не иметь корней, иметь 1 корень или бесконечное кол-во корней. Именно это и нужно установить на 1 этапе: кол-во корней и их расположение. Тем самым находится нек. нач. приближение для корней уравнения (1). Например, один из концов отрезка, на котором находится отделенный корень.

На 2-ом этапе, используя выбранное нач. приближение, строится циклический алгоритм для уточнения значения искомого корня. Каждый шаг такого алгоритма называется итерацией. Резу-том такого итерационного процесса будет последовательность приближенных значений корня х₁, …, х_n,. Если эти значения х_i i=0,1,2,…,n с ростом n приближаются к истинному значению корня, то итерационный процесс сходится. Итерационный метод предполагает, что начальное приближение задается достаточно близким к искомому решению. Окончание итер. процесса происходит при выполнении одного из 2х условий:

1.Найденные значения двух последовательных итераций х_i-1 и х_i отличаются друг от друга не более, чем на величину  >0 .

2.Выполнено заданное заранее число итераций m=const