41 Постановка задачи вычисл. Итегралов в квадратурах
Задача численного интегрирования состоит в том, что нужно найти приближенное значение определенного интеграла от заданной и непрерывной на отрезке [a,b] функции f(x), т.е. решить численными методами задачу (1).
(1) где a и b – нижний
и верхний пределы интегрирования. Во
многих случаях, когда подынтегральная
функция задана в аналитическом виде,
определенный интеграл вида (1) удается
вычислить непосредственно по формуле
Ньютона-Лейбница
(2) Где F(x)
–первообразная
(одна из) функции f(x),
т.е.
.
Однако на практике не всегда удается применить формулу (2) по следующим причинам:
вид функции f(x) не допускает непосредственного интегрирования, т.е. первообразную невозможно выразить в элементарных функциях.
аналитическое выражение первообразной F(x) таково, что получить числовой ответ трудно из-за весьма сложных преобразований.
подынтегральная функция f(x) задана в виде графика или таблицы.
В этих случаях используют методы численного интегрирования, которые основаны на аппроксимации подынтегральной функции f(x) некоторой функцией, имеющей более простое аналитическое выражение, (например многочленом,) и интеграл от которой легко вычисляется аналитически. Одним из таких способов является представление подынтегральной функции f(x), если она задана аналитически, в виде степенного ряда Тейлора. Такой прием позволяет свести вычисление интеграла от сложной функции к интегрированию многочлена, представляющего первые несколько членов ряда.
Более универсальным методом является аппроксимация подынтегральной функции f(x) интерполяционным многочленом. Это позволяет приближенно заменить определенный интеграл некоторой конечной суммой, которую называют квадратурной.
Исходя из понятий интегральной суммы, определенного интеграла и теоремы о существовании определенного интеграла строятся простейшие формулы для приближенного вычисления интегралов по отрезку. Такие формулы называются квадратурными. В многомерных случаях, т.е когда размерность интеграла больше 1, формулы для приближенного вычисления определенного интеграла называются кубатурными.
42 Простейшие Квадратурные фо-лы. Оценка погрешности.
Пусть нужно найти значение определенного интеграла для непрерывной на отрезке интегрировании достаточно гладкой функции f(x) (1)
Введем на отрезке
[a,b] равномерную сетку с шагом h,
т.е. множество точек
и представим интеграл (1) в виде суммы
интегралов по частичным отрезкам
(2)
(3)
Формула
(3) называется формулой
прямоугольников
на частичном отрезке
.
В качестве точки
могут выбираться левые
или
правые
границы
элементарных отрезков.
Построим квадратурную
формулу трапеций
для интеграла на частичном отрезке
из геометрических соображений, т.е. этот
интеграл заменяем площадью трапеции
(3)
Эту
же формулу мы можем получить путем
замены подынтегральной функции
интерполяционным многочленом первой
степени, который строится по узлам
.
К
вадратурная
формула метода парабол получается, если
подынтегральную функцию f(x)
заменяют параболой, проходящей на каждом
частичном отрезке через точки
,
т.е. интерполяционным многочленом второй
степени.
(1)
(2)
Проведем
интегрирование
(3)Таким образом, квадратурная формула
парабол на частичном отрезке имеет
следующий вид
(4)