5. Решение нелинейных уравнений методом деления отрезка пополам.

Простейшим среди итерац. ме-ов явл. метод половинного деления Пусть f(x)=0 (1) где f(x) непрерывная функция на отрезке [a,b]R. Предположим, что внутри этого отрезка только 1 корень х^* ур-ия (1). Тогда f(a) и f(b) имеют разные знаки. Возьмем f(a)<0 и f(b)>0. Возьмем в качестве нач.приближения и вычислим f(х₀). Если f(х₀)=0, то корень = .Иначе, если f(х₀)>0, то это означает, что х^*а,х₀.Если же если f(х₀)<0, то х^*х₀,b. Т.о. из 2х интервалов а,х₀ и х₀,b выбираем тот, на границах которого функция f(х) имеет разные знаки и находим точку х₁ – сер. выбранного отрезка и повторяем процесс,т.е.выделяем интервал, в котором должен находиться корень, вычисляем значение функции f(x) в его ср. точке с целью определения следующего интервала. В резу-те такого итер. процесса будет получена пос-сть интервалов,содержащих искомое значение корня.Необходимо отметить, что длины отрезков этой посл-сти уменьшаются в 2 раза для каждого послед. по отношению к предыдущему.Т.о. ч\з k шагов длина интервала станет равной . Из этого следует оценка погрешности текущего приближения к корню. Т.к. – ср. точка интервала после k шагов, то (2) Процесс заканчивается, когда длина последнего интервала станет меньше удвоенного заданного числа , т.е. должно выполниться неравенство а в качестве корня принимается сер. этого послед. интервала. Можно также оценивать значения функции f(x) на 2х соседних итерациях, т.к. вблизи корня значения малы по величине и м.б. сравнимы с величиной заранее заданной погрешности, т.е. со значением .

Ошибки округления могут повлиять не только на само значение функции f(x), но может быть неверно определен даже ее знак. В таком случае окажется выбранным неверно подинтервал для нахождения очередного приближения к корню. Такая ситуация наз. возникновением интервала неопределенности.Определить интервал неопределенности сложно. Он зависит

• от неизвестного значения корня x^*,

• от поведения фу-ии вблизи корня,т.е насколько график этой функции будет пологим в окрестности корня,

• от величины погрешности вычислений функции f(x).

Особенности метода дихотомии.

1.Метод половинного деления имеет безусловную сходимость, т.е. если на отрезке есть один корень, то он будет всегда найден этим методом.

2.Независимость от вида фу-ии, т.е. этот метод может применяться для поиска корней любой функции.

3.Метод имеет линейную сходимость, т.е. скорость сходимости довольно медленная.

4.Методом половинного деления невозможно определить четные кратные корни. Такие корни должны определяться при предварительном исследовании задачи (1).

5.Если ур-ие имеет несколько различных корней, то невозможно заранее предсказать к какому корню сойдется метод.

7. Метод не переносится на решение систем нелинейных уравнений.

8.Т.к. точность поиска корня методом дихотомии очень сильно влияет на объем вычислений, то метод часто относят только к этапу отделения корней.

Пункты 1-2 – это преимущества метода, а пункты 3-7 скорее следует отнести к недостаткам метода.