6. Решение нелинейных уравнений методом простой итерации.

Пусть задана нелинейная непрер. фу-ия действительного переменного f(x) на отрезке [a,b]R. ур-ие f(x)=0 (1) Метод пр. итерации состоит в том, что ур-ие (1) заменяем на ур-и вида x=(x)(2)а затем строим посл-сть приближений к корню уравнения x^*по правилу (3) k-номер итерации.Приближенное значение корня, - нач. приближением.Это значение выбирается из каких-либо условий конкретной задачи или произвольно. Подставляем это значение в правую часть соотношения (3) и получаем , затем вычисленное т.о. каждое очередное приближение подставляем в правую часть и получаем

В итоге получаем числ. посл-сть ,-.посл-стью приближений или итерационной посл-стью. В этой посл-сти каждое новое приближение ур-ия (1) находится на основании только одного известного предыдущего значения , т.е за 1 итерацию.Поэтому метод простой итерации относят к классу 1шаговых методов.

Корень ур-ия (1) или (2) x=x* вычисляют приближенно с относ. погрешностью 0 так, чтобы для всех kk₀() стало верным нер-во (4)Число k₀() – мин. кол-во итераций,при котором выполняется усл-ие сх-сти. Посл-сть будет сходящейся, если при неограниченном росте числа итераций  ее lim и этим lim явл. корень ур-ния x*, т.е. если при k  lim{x_k}=x*.

Если x=x* является корнем функции f(x), то и итерируемая функция (x) должна обладать следующим свойством x*=(x*), а значение x* наз.неподвижной точкой функции (x).

Дадим геом. интерпретацию метода простой итерации. На плоскости X0Y построим графики функции Y=x и Y=(x). Каждый вещ. корень x* уравнения (2) является абсциссой точки пересечения кривой Y=(x) с прямой Y=x. Начиная с некоторой точки A₀(x₀, (x₀)), строим ломаные линии A₀B₁A₁B₂A₂, звенья которой попеременно параллельны оси 0X и оси 0Y, причем вершины A₀,A₁,A₂… лежат на кривой Y=(x) . Общие абсциссы точек A₁ и B_1, A₂ и B₂ … представляют собой последовательные приближения корня x*,которые сходятся к нему монотонно и односторонне.

7. Условие сходимости мпи для нелинейных ур-ий.

Говорят, что непрерывная на отрезке [a,b] функция f(x)удов. на этом отрезке условиюЛипшица, если такая константа q, что для любых 2х значениях аргумента из этого отрезка имеет место нер-во (6) q- постоянной Липшица.

Пусть функция (x) из у-ия (2) на некотором отрезке где x*- корень этого ур-ия, удв. усл-ю Липшица с постоянной 0<q<1. Т.е. выполняется условие (x₁)-(x₂) q x₁-x₂. Тогда при любом выборе начального приближения из окрестности корня, т.е. бесконечная итерационная посл-сть{x_k}, линейно сходящаяся к корню x*, который является единственным решением ур-ия (2) на отрезке . Для погрешности будет справедлива оценка k=0,1,2,… (7)

Если функция (x) непрерывно дифференцируема на отрезке , то условие Липшица можно записать как (8).

Если начальное приближение выбирается из этого же отрезка, то метод простой итерации сходится линейно, т.к. погрешность сходимости имеет вид .

Число итераций, при котором выполняется условие сходимости (4) получаем из условия (7). На основании этих соотношений можно записать и . Мин. число итераций, при котором выполняется условие сходимости равно (9).

Т.к. для реализации реш. ур-ия f(x)=0 (1) методом простых итераций необходимо преобразовать его к виду x=(x) (2) и выбор функции (x) имеет большое значение для сходимости, то укажем достаточно общий прием такого преобразования. 

Умножим ур-ие вида (1) f(x)=0 на функцию s(x)¹0, т.е. эта функция не имеет корней на отрезке [a,b], и значит функция s(x) не меняет знак на этом отрезке. Сложим полученное ур-ие с тождеством xºx, получим  x=x+s(x)×f(x). Обозначим правую часть (x)=x+s(x)×f(x). Имеем x=(x). Подбором функции s(x)¹0 добиваемся, чтобы в окрестности корня для функции (x)=x+s(x)×f(x)выполнялось условие сжатия, т.е. . При этом необходимо получить как можно меньшие значения параметра q.

Практическая схема решения нел.ур-ия методом простой итерации состоит в следующем.

-Отделить корни ур-ия (1) f(x)=0, т.е. выделить интервалы, на которых f(x) имеет 1 корень.

-Выбрать 1 из найденных интервалов и преобразовать уравнение (1) к виду (2) x=(x).

-Для выбранной формы записи ур-ия проверить выполнение теоремы о сходимости метода простой итерации. Если условие не выполняется, выбрать другой вид уравнения (2).

-Задать начальное приближение и начать итерационный процесс.-Итерации можно закончить, если число итераций достигнет величины , т.е мин. числа итераций для процесса сходимости. На практике часто условием окончания итерационного процесса служит выполнение неравенства .