22.Классические геометрии.

Наиб.общими пр-вами явл. топологические и метрические пр-ва.

Вводится Риманова метрика

2 2 2

ds =g11 dx +2g12dxdy +g22dy

Далее вычисляется кривизна К многообразия

л=0-евклидова геометрия

к<0- геометрия Лабочевского

к>0- сферич или элиптич геометрия Римана

Различия:

2

Сферичгеом в любойточке к=1/R>0

Сферич прямые представимы в виде окр

Евклидова геом и сферичгеом исследованы

Неевклгеом Лобачевского содержит много проблем и она сложнее евклидовой и сферич,но между ними есть зависимость.

Пл-стьЛобочевского и евклидова пл_тьгомоморфичны.

в трехмерное евклидово пр-во помещена и двумерная сфера , а пл-ть Лобачевского нет.

Смысл геом. Лобачевского:

1в трехмерном евклидовом пр-ве сущповерхности,на кот сущсферичечкая геометрия

2Евклидова геометрия орисфере

3 двумерная геом Лобачевского на эквидистанной поверхности

Виды классич. геом.:

1евклидова

2 Лобачевского

3 сферич и эллиптич Римана

23. Угол параллельности.Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского

1) Пересечение l₁ и l₂

2) Параллельные l₁ и l₂

3) l₁ и l₂ расходящиеся

А

А- угол параллельности в евклидовой геометрии

Всегда α=

24.Непротиворечивость геометрии Лобачевского. Модель Клейна.

Возьмем в качестве аксиоматики пл.Лобачевского ∑П,аксиоматику Погарелова в которой аксиома 2 Евклида заменена на 4 аксиому Лобачевского.

Построим модель,в которой ∑П вып. Модель Клейна

При построении этой модели и при ее исп. нужно основыв. на проективную геометрию,но если прямым способом задать формулы неевклидовой длины и опр. непосредственно неевклидовы движения,то эта модель будет основ. только на Евклидовой геометрии и тогда существование модели Клейна означает,что геометрия Лобачевского непротиворечива.

ξ –окр. и εLπ=k

1.Точки А2 – внутр. точки ξ –окр.

2.Прямые А2 (неевклидовы прямые) это l×А2,

l-евклидова прямая.

Неевклидовы прямые это хорды без концов.

Отношения

1.Принадлежность

2.Непрерывность

Опр.так же в А2 через соотв. Евклидовы отношения отрезок и угол опред. обычным образом.

Длина отрезка и мера угла отличаются от Евклидовой

1. Р(А,В)=R/2|ln(AB,uv)|- двойное отношение четырех точек. R- радиус кривизны.

(1’)Если на Евклидовой пл-ти ввести систему к-т,то (AB,uv) можно ввести через четыре определения без ссылок на проективную геометрию.

(AB,uv)= (ВА,uv)^-1Р(А,В)=|ln(AB,uv)|

Если М между А и В

(AB,uv)= (uv,АВ)=uv1A/uv1B=λ/μ (uv,R)= λ

Далее опр. неевклидовы движения в А2 .Удобно опр. неевклид. движения через

Проективные преобразованеия «гиперб.гомологии».

f(A)=A’,p-центр гомологии, l-ось гомологии.

25. Модель Клейна. Проверка аксиомы III(2-я аксиома), IV, V и VI групп. Неевклидовы симметрии в модели Клейна.