4.Аксиома откладывания треугольника.
В плоск-ти П треуг.АВС
В П” луч А1М, с прямой L1 ,L2 разбивает по аксиоме 2 одна из полуплоскостей считается выделенной , тогда сущ. причем единственный треуг А1 В1 С1 в плоскости П, так что(АВ)=( А1 В1) , отрезок А1 В1 С лучи А1 М1 и точка Lпринадл.выделенной полуплоскости.
Если отрезки равны по длинне, то они наз равными, если углы равны по величине, то они тоже наз.рав-и и треуг.АВС и треуг А1 В1 С1 тоже наз рав-ми.
Из этой аксиомы следует, что отрезки можно откладывать ед.образом на выбранных лучах и углы на выбранном луче тоже можно откладывать ед.образом.
5.Аксиома сущ.Отрезка данной длинны:
Для любой d> 0 сущ.отрезок длинны d.
Из этой аксиомы и из других следует между точками Евклид.прямой 3.1 и 5 и мн-вомR можно установить взаимнооднозначное соответствие
6.Аксиома параллельности:
В L, в одной плоскости П !! Сущ, причем единств. L1 в пересечL=пустое мно-во, в этой плоскости В L1 ,L1||L, значит группы 1,2,3,4,5,6,7- описывают планиметрию. Пространственные аксиомы С1,С2 ,С3.
С1 : на любой плоскости сущ.точки ей принадл.и не принадл.
С2:Если 2 разные пл-сти имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.
С3: Если 2 различные прямые пересекаются в одной точке, то сущ.причем ед. образом плоскость проход.через эти прямые или содерж.их.
1,2,3,4,5,6,7+ 3 пространственные
12.Непротиворечивость аксиоматики Погорелова ӏ и Vӏ группы…
Первое,
что следует доказать-это непротиворечивость
.Непротиворечивость
Непротиворечивость
Непротиворечивость
Во
всех трёх случаях непротиворечивость
доказывается,основываясь на построении
арифметической модели.Непротиворечивость
Будем
рассматривать планиметрию аксиомы
1-6.Модель строится на основе R-теория
чисел (ӏ) точки – это пары чисел
(x1,y1)=A1,где
x1y1ϵR.
«Прямые»- это линейные уравнения с двумя
неизвестными ax+by+c=0..
,множество
решений таких уравнений.Ноизвестно,что
если такие уравнения пропорциональны,то
они определяют одну прямую,если (ӏӏ)
A1=(x1y1)
l:
ax+by+c=0,
A
«принадлежит» l
ax1+by1+c=0,
т.е. (x1y1)-решение
уравнения.Проверим аксиому (ӏ),т.е. через
2 точки А1=(x1y1)…A2=(x2y2)
существует l
через них проходящая.
=
«единственность»
Пусть есть 2 прямыеll′, A1A2ϵl
l: ax+by+c=0
l′: a′x+b′y+c′=0
Из теории линейных систем следует :
Ед. решение
решений
=
=
т.е. l
и l′
совпадают.
Теорема доказана.
13.Непротиворечивость аксиоматики Погорелова 2-5 гр.
2 Гр. “между”
L: ax+by+c=0
L: 1) b≠ 0 y=kx+b
L: 2) b=0 x=x0
A=(x1,y1) B=(x2,y2) M=(x,y) наC
M “между” A и Bx1<x<x2 или x2<x<x1
x-x1>0 x2-x>0
(x-x1)(x2-x)>0 M “между” A и B
A: y1=kx1+b M:y=kx+b B:y2=kx2+b
(y-y1)(y2-y)>0
L: x=x0M “между” AиB
(y-y1)(y2-y)>0
2 Каждая прямая разбивает плоскость на 2 части
L’: a’x+b’y+c’=0
a’x+b’y+c’>0 –П- полож.полупл.
А и Вв разных полуполск. [AB] пересек. L’
A и B в одной плоскости тогда отрезок AB не пересекает L’
A=(x1y1) B=(x2y2)
L: ax+by+c=0
Aͼ П+ a’x1+b’y1+c’>0
Bͼ П- a’x2+b’y2+c’<0
f(M)=f(x,y)=ax+by+c
f(A)=ax1+by1+c=ax1+(kx1+b)+c>0
f(B) =ax2+by2+c=ax2+(kx2+b)+c<0
f(x)=f(x,kx+b)=ax+b(kx+b)+c линейная ф-ия одной переменной
f(A)=f(x1)>0
На концах отрезка прин. разные знаки: f(A)=f(x1)>0
f(A)=f(x2)<0 Ǝ!x=ξ
M(ξ,kξ+b), то f(M)=0=f(ξ1)=> MͼL
a’ξ+b’(kξ+b)+c=0
MͼL Mͼ[AB] L∩[AB]=M что и т.д.