3.Модели. Примеры.

Модели(интерпретации)если даны 2 аксиоматические теории S(«старая»), T(«новая»),то построить модели теории T на основе S означает следующее:

1)первоначальное понятие Т определяется на основе S

2) «первоначальное отношение Т» определяется на основе S

3) аксиомы ξ(кси)_S=> ξ_T Другими словами аксиоматика Т док-ся как теоремы в теории S

Если построена модель теории Т на основе S ,то можно сказать,что теория Т как бы вкладывается в теорию S

Примеры

1)геометрическая модель векторного пр-ва . Двумерное в-рное пр-во к аксиомам 1-8 добавл 9.dimv=2, 1-9 описывает теорию Т двумерного в-рного пр-ва.

S- евклидовагеомпл-сть. Векторы опред-ся как направл отрезки

2) арифметич модель двумерного в-рного пр-ва

V=R²={(a₁,a₂)(a_i€R)} мн-во всех упорядоченных пар чисел

а =(а₁,а₂) ,

а+в=(а₁+в₁,а₂+в₂),

к*а=(к*а₁,к*а₂)

а+в=(а₁а₂+в ₁в₂)=(а₁+в₁,а₂+в₂)=(в₁+а₁,в₂+а₂)=(в₁,в₂)+(а₁,а₂)

4.Изоморфизм. Примеры

Если 2 структуры 1 рода, те у них однотипные понятия и одинаковое число однотипных отношений и мдмнож-ми понятий соотв. Можно установить взаимнооднознсоотв так, что эти соотв (отображения)сохр отношение.

Примеры!

1)G=<R₊ ^*,°>; H=<R,(+)>

G->H:X->lnx; F(x)=Lnx; F(xy)=f(x)+f(y); ln(xy=lnx+lny)

2) (M₁,p₁(po)) метрическое простран-во; p₁:M₁xM₁->R₊; (M₂p₂)- еще одно метрич про-во. Изоморфизм в этом случае наз изометрия f:M₁->M₂ взаимнооднозначноеотобр (x,y)€M₁; p₁(x,y)=p₂(f(x₁)+f(x₂)

3) Если vпроиз вектора про-во. вводится понятие линейной зависимости, независимости, базиса и координат и размерность, затем док-ся что произв векторное про-во размерности dimv=n изоморфно Rⁿ={a₁..a_n|a_i€R} если v над R изоморф структуры астр и более конкр модели

5.Аксиоматические теории.Роль теории множеств.

На первом этапе “наивная” теория мн-в.,т.е. не аксиоматическая. Обнаружились противоречия,самый известный парадокс Рассола:х=мн-во всех таких мн-в которое не содержит себя в качестве элемента. Возникают противоречия 1)х х то противоречит опр.х 2)х не принадлежит х, тогда по опр.х должен себя содержать.Противоречие удается избежать если описать теорию мн-в аксиоматически. 1902г итал.мат. Цермело первая система аксиом теории мн-в., эти аксиомы самые сложные. Некоторые аксиомы не очевидны или на первый взгляд естественны ,но приводят если их исп. В док-х к совершенно не очевидным теоремам. Эти проблемы логически строгого обоснования мат-ки и некоторые другие привели к кризису обоснования мат-ки в начале 20-го века. Эти сложности непрерывны до сих пор ,эти разногласия не определены до сих пор. Исп. Теории множеств в современной мат-ке очень широко распространено и без теории мн-в обойтись нельзя,но при максимально строгом построении мат.теории все понятия в ней должны быть описаны аксиомами и значит если мы исп. Слово мн-во то в принципе должна исп. И сис-ма аксиом теории мн-в, но это не делается ввиду сложности этой аксиоматики.

Все же учитывая сложности связанные с теорией мн-в некоторые авторы употребляют понятие теории мн-в ограниченно напарим. : совершенно исключают термины мн-во .пренадлежность в аксиомах Гильберта “Основания геометрии ” избегают слов мн-во,пренадлежность.