3Гр. Длина отрезка [ab]

1 A=(x₁y₁) B=(x₂y₂)

|AB|=√ (x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²

|AB|=√ (x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²=(x₂-x₁)√1+k²

|AM|+|MB|=√ (x-x₁)²+(y-y₁)²+√ (x₂-x)²+(y₂-y)²=(x-x₁)√1+k²+(x₂-x)√1+k²=(x₂-x₁)√1+k²=|AB|

что и т.д.

4-об откладывании треугольника

Треугольник откладывается нужным образом с помощью движений

14. Роль симметрии в евклидовой геометрии

Понятие симметрии вводится через понятие движения, т.к. люб движение евклид геометрии и неевклид геометрии Лобачевкого есть композиция осевых симметрий.Движения:1паралл. Перенос на в-р :τ 2.осеваясиммотн ι :Sι 3.поворот на угол φ: 4. Скользящая симметрия Каждое из этих движений представимо в произ симметрий

P- сер [M, ] Q- сер [ , ] перп ι ,

M перпm , | M |=| |, , м=> (М)= M

τ = . ||ι, M -симм ι M = f-скольз. симметрия P Q

Понятия «точки» и «прямые» могут быть определены через движения. Ιm

A<=>

ι<=> -ед. осевая симметрия

Евклидова и неевклид. Геометрии могут исслед из аксиом или на модели.При построении модели геом Лобачевского будет использ движение для описания неевклид движений.

Все теоремы евлид и неевкл геометрий можно вывести с помощью движений. Напр. Точки и прямые определяются через движения.

15.

В классических метрических геометриях (евклидовых), не евклидовой геометрии Лобочевского, сферической или элептической геометрии Римена ключевую роль играет движение без опоры на теорию параллельности сущ аксиоматики в которых движение входит в число первоночальных понятий. Соответствия аксиомы двух движений в таких аксиоматиках довольно сложные наиболее удобно вводить движения через понятия осевой симетри. Это возможно потому что любое движение в евклидовой геометрии и не евклидовой геометрии Лобочевского.

Для любого движения в евклидовой плоскости:

1. Параллельный перенос на вектор а.

2. Осевая симметрия

3. Скользящая симметрия

4. R-ротер.

Покажем, что каждая из этих движений раскладывается вкомпозицию или симметрию

S_l- осевая симметрия

RH₀-поворот вокруг т M₀ на угол фи.

T_a- параллельный перенос на вектор а

m∩l=M₀

ϕ>0 против час стрелке, ϕ<0 по часовой стрелке |M₀M’|=|M₀M”|=|M₀M|

a+b=4/2

угол M’OM”=2a+2b=ϕ

|M₀M|=|M₀M’| =>R^ϕ_M0(M)=M” Длялюбых M =>R^ϕ_M0=S_mS_l

Вектор MM’ перпендикулярен l M’M” перпендикулярно m

Pсередина [MM”], Q- сер [M’M”], [MM”] =|вектору а|, вектор MM”=вектору а

Т_а=S_mS_l T_a(M)=M”

T_a=S_MS_W f=U^a_l=S_mS_nS_l

F=T_aS_l

16 Аксиоматика Вейля

Другое наз. Точечно-векторная аксиоматика.

Структура евклидовой геометрии в аксиоматике Вейля это < >

- пространство точек

- векторное пространство

сложение векторов

умножение векторов

-скалярное произведение

-откладывание векторов

1. Группа: аксиомы векторного пространства

А1:

A2: )+ = +

A3:

A4: :

A5:

A6: k( )= (k , k

A7: (k =

A8:

2. Группа: dim v=n

n=1 - прямая

n=2 -плоскость

n=3 –трехмерное пространство

Размерность равномерно и означает, что в существует и линейно-независимых векторов и вектор линейно-независимый

3. Группы скалярного произведения

:

A10:

A11: =

A12: + =

A13: =

4. Группа

A, B –точки

A14: Единственность откладывания вектора

Основное свойство сложения векторов + =

17. Аксиоматика Вейля. Простейшие следствия.

В аксиоматике Вейля два неопределяемых понятия:

 точка – элемент множества Т,

 вектор – элемент множества V,

четыре основных отношения:

 сумма векторов,

 произведение вектора на действительное число,

 скалярное произведение векторов,

 откладывание вектора от точки,

I. Аксиомы сложения векторов

Первая группа аксиом описывает отображение , называемое операцией сложения векторов, позволяющая любым двум векторам и отнести третий вектор – их сумму так, что выполняются аксиомы:

I1: Сложение векторов коммутативно .

I2: Сложение векторов ассоциативно .

I3: Существует нулевой вектор такой, что для справедливо равенство .

I4: Для существует противоположный вектор такой, что [2].