Теорема об оценке двойного интеграла

Если функция f(x,y) непрерывна в области D и удовлетворяет неравенствам

mf(x,y) M , (x,y) D,

то ,

где m и М – соответственно наименьшее и наибольшее значения

функции f(x,y) в замкнутой области D ;

S – площадь области D .

7. Теорема о среднем значении

Разделим все части неравенства

на S;

положим .

Тогда mM .

По теореме о промежуточных значениях в области D найдётся такая точка (, ), что f(, ) =  :

.

Последняя формула выражает собой теорему о среднем и показывает , что если функция f(х, у) непрерывна в замкнутой области D площади S , то в этой области найдётся такая точка (, ) , что

.

.Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат

Рассмотрим способ вычисления двойного интеграла путём его приведения к повторному (двукратному) интегралу , т.е. последовательному вычислению двух простых интегралов .

Мы ограничимся не вполне строгим , но зато простым геометрическим выводом, основанным на том , что двойной интеграл представляет объём цилиндричес-кого тела с основанием D , ограниченного сверху поверхностью z = f(x,y) .

В разделе " Определённый интеграл " мы уже имеем дело с задачей вычисления объёма тела по его поперечным сечениям .

Рассмотрим цилиндрическое тело , содержащееся между параллельными плоскостями х = а и х = b .

Допустим , что в сечении тела плоскостью , проведённой через точку х = х₀ , х₀[ a,b] , перпендикулярной оси Ох , получается фигура , имеющая площадь S(x₀) ( причём S(x) – непрерывная функция , х [ a,b] ).

Тогда , как известно , объём V тела вычисляется по формуле

. (6.7.9.)

Пусть данное тело ограничено сверху поверхностью z = f(x,y)  0 , с боков – цилиндрической поверхностью с образующими , параллельными оси Oz , снизу - плоской фигурой D на плоскости Оху ( область D – простая ).

Пусть y₂ = у₂(x) – уравнение ANB ;

у₁ = у₁(x) – уравнение AМB.

Криволинейная трапеция MPQN ограничена сверху линией z = f(x₀,y), где у[у₁,y₂] . Как известно , площадь криволинейной трапеции

.

Поскольку сечение х = х₀ было взято произвольно , то для любой точки х[a,b] будем иметь

, (6.7.10)

где уже пределы интегрирования у₁(х) и у₂(х) – переменные величины; они зависят от х.

Подставляя это значение в формулу ( 6.7.4 ) , получим

. (6.7.11)

Выражение , стоящее в правой части формулы (6.7.12) , называется повторным (двукратным) интегралом функции f(x,y) по области D .

Но объём цилиндрического тела выражается двойным интегралом :

. (6.7.12)

Сопоставляя равенства (6.7.11) и (6.7.12) , получаем формулу

(6.7.13)

приводящую двойной интеграл к повторному , в котором интегрирование 1) сначала выполняется по у при произвольном , но постоянном х – внутреннее интегрирование , 2) а затем полученный результат интегрируется по х – внешнее интегрирование; при этом пределы внутреннего интеграла у₁(х) и у₂(х) – функции от х , а пределы внешнего интеграла - постоянные а и b .

Производя сечение цилиндрического тела плоскостями , параллельными плоскости Oxz , и рассуждая аналогичным образом , мы найдём , что

. (6.7.14)

Здесь интегрирование сначала производится по переменной х при постоянном у , а затем полученный результат интегрируется по у ; при этом пределы внутреннего интеграла х₁(у) и х₂(у) – известные функции от у ( мы их находим из уравнений контура ) , заданные в промежутке [c,d] , а пределы внешнего интеграла – постоянные с и d , являющиеся ординатами крайних ( снизу и сверху соответственно точек контура z ( точек С и F) .

Сопоставляя формулы (6.7.13) и (6.7.14) , находим

. (6.7.15)

Последнее равенство показывает , что при перемене порядка интегрирования пределы внутреннего и внешнего интеграла изменяются ( в зависимости от формы контура z ) .

Значение формул и состоит в том , что они сводят вычисление двойного интеграла по области D к последовательному вычислению двух "обычных "("однократных") определённых интегралов от функции одной переменной ( методы вычисления таких интегралов уже ранее были изучены ) .

Какую из этих формул удобнее применить в том или ином случае , устанавливается в зависимости 1) от вида функции f(x,y) или от 2) вида области D .

Были установлены в предположении , что область D простая ( т.е. граница области D пересекается прямыми , параллельными как оси Ох , так и оси Оу , не более чем в 2 точках .)

В ряде случаев область D интегрирования не является простейшей областью , но может быть разбита на несколько простых областей , например , на D_1,D₂ ,D₃ ( рис.1.7).

В этих случаях , пользуясь свойством 3 двойного интеграла , двойной интеграл по всей области D представится в виде суммы интегралов по этим областям и каждый из них вычисляется путём сведения к повторному интегралу .

Если область интегрирования представляет собой прямоугольник D : а  х b , cyd ( т.е. со сторонами , параллельными осям координат ) , то пределы как внешнего , так и внутреннего интеграла постоянны .

Доказано , для любого значения х , заключённого между а и b , переменная у меняется в пределах от с до d . Обратно , для любого у меняется в пределах между с и d, переменная х меняется в пределах от а и b .

Следует твёрдо помнить , что в случае произвольной области интегрирования постоянны только пределы внешнего интеграла ; пределы же внутреннего интеграла переменны ( являются функциями переменной внешнего интеграла ) .

Практика показывает , что при вычислении двойных интегралов студент , как правило , испытывает трудности , связанные с расстановкой пределов интегрирования .

Рассмотрим ряд примеров

Пример 6.8.1.

Записать двойной интеграл в виде повторных интегралов двумя способами , если область D ограничена прямой у = х² .

Решение

а. Сначала применим формулу (т.е. интегрируем сначала по у , считая х постоянным , а затем по х в пределах от а= 0 до b =1 , представляющих собой абсциссы крайних точек контура области ).

Чтобы найти пределы для у, поступают так : возьмём на оси Ох произвольную точку х между 0 и 1 и проведём через неё прямую , параллельную оси Оу , в направлении этой оси .

Точка входа этой прямой в области D лежит на параболе у = х² , а точка выхода этой прямой из области D лежит на прямой у= х.

Уравнения этих линий дают нам соответственно нижний и верхний пределы внутреннего интеграла .

Таким образом имеем :

.

б. Применим теперь к двойному интегралу формулу (9).

В этом случае внутренний интеграл берётся по переменной х, считая у постоянным , а затем по у , у[0,1] ( где 0 и 1 – наименьшая и наибольшая ординаты крайних этих точек контура области D) .

Чтобы установить , каковы будут пределы внутреннего интеграла по х , возьмём произвольную точку у на оси Оу в промежутке [0,1] и проведём через неё прямую . параллельную оси Ох , в направлении этой оси .

Так как точка входа этой прямой в области D лежит на прямой х = у , а точка выхода её из области D лежит на параболе , то из уравнения этих линий дадут нам нижний и верхний пределы внутреннего интеграла .

Следовательно имеем :

Пример 6.8.2.

Вычислить

Область D :- 1  х  1 , 0  у  2 ( т.е. задана такими неравенствами)

Пример 6.8.3.

= ? Область D : у = х , х = 2 , ху = 1.

Решение

При +1 х 2 у изменяется от у = 1/х до у= х .

Пределы внешнего интеграла по переменной х : это будет абсциссы самых левых и самых правых точек области D .

Чтобы установить пределы внутреннего интеграла по у , возьмём произвольную точку х между 1и 2 на оси Ох и проведём через неё прямую , параллельную оси Оу . Точка входа этой прямой в область D лежит на гиперболе у = 1/х , а точка выхода на прямой у = х . Уравнения этих линий дают нам соответственно нижний и верхний пределы внутреннего интеграла .

Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле

Если область D является простой , то для вычисления двойного интеграла применимы обе формулы (1.5) и (1.6) .Следовательно :

.

Это равенство показывает , что повторное интегрирование не зависит от порядка интегрирования .

Этим обстоятельством часто пользуются при вычислении двойных интегралов , выбирая ту из двух формул , которая приводит к более простым выкладкам .

Пример 6.8.4.

Изменить порядок интегрирования в следующем интеграле :

.

Решение

Область интегрирования непосредственно не дана . Мы должны выяснить её вид по пределам повторных интегралов .Итак , по пределам повторных интегралов восстановим область D интегрирования .

Так как внутренний интеграл берётся по х , то пределы внутреннего интеграла показывают , какими линиями область D ограничена слева и справа .

Уравнения этих линий :  (х –1)² + у² = 1; х =2 ; х= у

Приступим к изменению порядка интегрирования :

Этот пример показывает , как важно с самого начала продумать порядок интегрирования , т.е. предварительно следует посмотреть , для какой переменной лучше выбрать постоянные пределы интегрирования и выбрать тот способ . при котором двойной интеграл будет представлен меньшим числом повторного интеграла .

Пример 6.8.4. – Изменить порядок интегрирования в интеграле

y =e^x ,

y = 2 ,e^x = 2 x = ln 2 .

Пример 6.8.5.Вычислить по области D , ограниченной линиями :