Раздел 4. Функции нескольких переменных

Лекция 4.

Функции нескольких переменных. Область определения. Предел функции. Непрерывность. Некоторые понятия топологии.

Частные производные. Полный дифференциал, его связь с частными производными. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференцирование сложной функции нескольких переменных. Дифференцирование функций, заданных неявно. Частные производные и дифференциалы высших порядков.

Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия экстремума для функции двух и трех переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области.

Аппроксимация функций. Приближение функций по методу наименьших квадратов. (Основные понятия дифференциальной геометрии. Кривизна, радиус кривизны. Формулы Френе. Уравнения касательной к кривой, касательной плоскости и нормали к поверхности^*)

Лекция 1.

Комплексные числа, действия над ними. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формулы Эйлера. Показательная форма комплексного числа. Корни из комплексных чисел. Понятие функции комплексного переменного.

Многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Разложение рациональных дробей на простейшие.

Лекция 2.

Первообразная функция и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Простейшие приемы интегрирования.

Интегрирование методом замены переменной и по частям. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен.

Интегрирование простейших рациональных дробей и дробно-рациональных функций.

Интегрирование некоторых тригонометрических выражений.

Интегрирование некоторых иррациональностей. Сведения о «неберущихся» интегралах.

Лекция 3.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла. Свойства. Связь определенного интеграла с неопределенным. Формула Ньютона- Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям.

Обобщение понятия определенного интеграла. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций. Признаки сходимости*.

Вычисление площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах. Длина дуги плоской кривой. Вычисление объема тела по площадям поперечных сечений. Объем тела вращения.

Применение определенного интеграла к задачам механики: работа, координаты центра тяжести, моменты инерции. Общая схема применения определенного интеграла к решению физических задач*.