1.6. Прямолинейное движение материальной точки. Частные случаи интегрирования дифференциального уравнения движения.
Будем предполагать, что материальная точка массы под действием силы (или равнодействующей приложенных сил) совершает прямолинейное движение. Можно показать[2,с.23], что для того, чтобы точка совершала прямолинейное движение, необходимо и достаточно, чтобы действующая на нее сила имела постоянное направление, а начальная скорость точки была или равна нулю, или направлена вдоль силы.
Если при прямолинейном
движении направить вдоль траектории
координатную ось
,
то согласно (1.9) движение материальной
точки описывается одним дифференциальным
уравнением
(1.16)
и начальными условиями
при
,
.
Уравнение (1.16) называют дифференциальным уравнением прямолинейного движения точки.
Остановимся на некоторых частных случаях интегрирования этого дифференциального уравнения движения, которое выполняется наиболее просто и его можно довести до конца в квадратурах.
1. На точку действует
постоянная по модулю и направлению сила
(
).
Примерами таких сил могут служить силы тяжести вблизи поверхности Земли, силы трения для тела, скользящего по шероховатой поверхности.
В этом случае
и, следовательно,
.
Интегрируя это уравнение, получим:
,
.
По начальным условиям определяем постоянные интегрирования
, 
и, следовательно,
.
2. На точку действует сила, зависящая только от времени.
Примером такой силы может служить сила, которую изменяют путем регулирования, так регулируют силу тяги самолета изменением работы его двигателей.
В этом случае
и, следовательно,
или
.
Разделяем переменные и интегрируем в соответствующих пределах интегрирования:
.
Как будет показано в динамике механической системы это теорема об изменении количества движения материальной точки.
Определив отсюда
,
получаем
или 
.
Интегрируя последнее
уравнение в пределах от
до
и от
до
,
находим
.
3. На точку действует сила, зависящая только от положения точки.
Примерами таких сил могут служить сила притяжения тела к Земле при значительных расстояниях от поверхности Земли; сила упругости пружины.
В этом случае
и, следовательно,
или
.
Представляем уравнение в виде
,
или
.
Разделяем переменные
и интегрируем это уравнение в
соответствующих пределах
.
Получаем, что
Это теорема об изменении кинетической энергии материальной точки, которая также как вышеупомянутая теорема об изменении количества движения будет подробно рассмотрена в динамике механической системы. Определяем отсюда
.
Разделяя переменные, получаем
.
Интегрируем это уравнение в пределах от до и от до :
.
Это уравнение, решенное относительно , определяет уравнение движения точки в конечном виде:
.
4. На точку действует сила, зависящая только от скорости.
Примерами таких сил могут служить силы сопротивления среды.
В этом
случае
и, следовательно,
Рассмотрим два способа получения уравнения движения.
а) Запишем дифференциальное уравнение движения в виде
.
Разделяем переменные
и интегрируем в соответствующих пределах
.
Решая это уравнение относительно , находим скорость как некоторую функцию времени
,
откуда повторным интегрированием находим уравнение движения
.
б) Запишем дифференциальное уравнение движения в виде
.
Разделяем переменные и интегрируем
, 
, 
.
Решив полученное уравнение относительно , находим скорость как функцию :
.
Отсюда:
и тогда
.
Выразивши как функцию , получаем уравнение движения
.