2.4. Вынужденные колебания при отсутствии сопротивления.

Рассмотрим колебания материальной точки, на которую кроме восстанавливающей силы действует еще , проекция которой на ось , направленную по траектории точки, изменяется по гармоническому закону

. (2.22)

Эта сила называется возмущающей силой, а колебания, происходящие при действии такой силы, называются вынужденными.

—амплитуда возмущающей силы; —частота возмущающей силы; —фаза изменения возмущающей силы; —начальная фаза изменения возмущающей силы.

Пусть на прямолинейно движущуюся точку массы кроме восстанавливающей силы , пропорциональной отклонению точки от положения равновесия, действует только возмущающая сила .Точка с приложенными к ней силами и оси координат изображены на рис.11. Основное уравнение динамики точки имеет вид:

.

Спроектировав его на ось , получаем дифференциальное уравнение движения точки:

,

где , . Перенося все члены в левую часть и деля их на массу , получаем:

. (2.23)

Здесь частота свободных колебаний; и имеет размерность ускорения.

Уравнение (2.23)— дифференциальное уравнение вынужденных колебаний точки при отсутствии сопротивления.

Решение этого уравнения зависит от соотношения между частотой возмущающей силы и частотой собственных колебаний. Тут возможны два случая: 1) и 2) .

1. Случай отсутствия резонанса.

Найдем решение уравнения (2.23) для случая, когда частота возмущающей силы отлична от частоты свободных колебаний ( —нет резонанса.).

Уравнение (2.23)—неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение складывается из общего решения однородного уравнения

и частного решения данного уравнения (2.23):

Однородное уравнение совпадает с дифференциальным уравнением собственных колебаний (2.2) и его решение может быть записано в двух эквивалентных формах (2.3) и (2.6):

. (2.24)

Частное решение неоднородного уравнения (2.23) определяется правой частью этого уравнения. В случае будем искать это решение в виде:

. (2.25)

Постоянную следует определить из условия, что функция —частное решение уравнения (2.23) и, кроме того, подстановка в это уравнение должна превратить его в тождество. Вычисляем необходимые производные по времени от :

, .

После подстановки в (2.23) получаем:

.

Полученное равенство будет выполняться при любом значении , если

,

откуда

. (2.26)

Подставляя найденное значение в (2.25), находим искомое частное решение неоднородного уравнения:

. (2.27)

Общее решение уравнения (2.23) имеет окончательный вид

. (2.28)

В амплитудной форме

. (2.29)

Решение (2.29) показывает, что колебания в рассматриваемом случае слагаются из: 1) колебаний с амплитудой и частотой , называемых собственными колебаниями; 2) колебаний с амплитудой и частотой , которые называются вынужденными колебаниями.

Постоянные интегрирования и , или и определяются по начальным условиям:

, .

Предварительно найдем

. (2.30)

Подставляя эти значения в выражения (2.28) и (2.30) для и при , получаем

, .

Отсюда

, .

Амплитуда собственных колебаний и начальная фаза через и выражается формулами

, .

Следовательно, амплитуда и начальная фаза собственных колебаний при действии возмущающей силы зависят не только от начальных условий, но и от параметров этой силы, то есть собственные колебания в этом случае могут возникнуть не только из-за начальных условий, но и благодаря действию возмущающей силы даже при нулевых начальных условиях.

Рассмотрим вынужденные колебания, определяемые формулой (2.27)

Частота этих колебаний, как видно, равна частоте возмущающей силы, амплитуда

. (2.31)

В зависимости от соотношения между частотами вынужденные колебания можно выразить в двух формах:

при

,

при

.

Следовательно, при фаза вынужденных колебаний совпадает с фазой возмущающей силы. В этом случае сдвиг фаз между ними равен нулю, то есть вынужденные колебания и возмущающая сила достигают одновременно максимальных и минимальных значений.

При сдвиг фаз . Действительно, сдвиг фаз как разность фаз между возмущающей силой и вынужденными колебаниями

.

В этом случае вынужденные колебания находятся в противофазе по отношению к возмущающей силе, то есть, в частности, если возмущающая сила достигает максимума, то функция достигает минимума и наоборот.

Итак, вынужденные колебания системы без сопротивления при , возбуждаемые гармонической возмущающей силой:

1. являются гармоническими колебаниями с постоянной амплитудой;

2. их частоты совпадают с частотой возмущающей силы;

3. они не зависят от начальных условий.

И сследуем зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты возмущающей силы. Для этого введем понятие статического отклонения точки от начала координат под действием постоянной силы (рис.12).

Величина определяется из условия равновесия сил и :

,

откуда

.

Отношение амплитуды вынужденных колебаний к величине называется коэффициентом динамичности:

.

Безразмерный коэффициент динамичности показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний (т. е. максимальное отклонение точки от центра колебаний) больше статического отклонения , и зависит от отношения частот . Изменение амплитуды вынужденных колебаний в зависимости от изменения частоты возмущающей силы характеризуется графиком коэффициента динамичности (рис.13).

На горизонтальной оси этого графика отложены значения отношения , а на вертикальной оси—соответствующие значения коэффициента динамичности . График показывает, что при увеличении частоты возмущающей силы от до коэффициент динамичности возрастает от единицы до бесконечности, а при дальнейшем увеличении до бесконечности коэффициент динамичности убывает от бесконечности до нуля.

При коэффициент динамичности равен бесконечности. Это случай вынужденных колебаний, называемый явлением резонанса. Переходим к его изучению.

2. Случай резонанса.

Резонансом называется случай совпадения частот собственных колебаний и возмущающей силы, т. е. когда .

Как и в предыдущем случае, дифференциальное уравнение движения определяется уравнением (2.23)

(2.32)

и оно имеет общее решение

.

Здесь общее решение однородного уравнения

,

по-прежнему имеет вид (2.24)

.

А вот частное решение неоднородного уравнения (2.32) будем искать в виде

,

-рассматривается случай .

Постоянная определяется из условия, что при подстановке в рассматриваемое неоднородное дифференциальное уравнение это уравнение обращается в тождество.

Вычисляем производные:

;

и подставляем значения и в уравнение (2.32):

,

или

.

Приравнивая коэффициенты при синусе в левой и правой частях этого уравнения:

.

Получаем, что частное решение

, (2.33)

а искомое общее решение уравнения (2.32)

. (2.34)

Уравнение (2.34) показывает, что движение точки при резонансе является результатом наложения свободных и вынужденных колебаний точки, так же, как и при .

Рассмотрим вынужденные колебания при резонансе

.

Основной особенностью этих колебаний является зависимость их амплитуды от времени

.

Амплитуда вынужденных колебаний при резонансе увеличивается пропорционально времени. Частота и период вынужденных колебаний при резонансе равны частоте и периоду свободных колебаний точки. Фаза вынужденных колебаний отстает от фазы возмущающей силы величину .

Графиком вынужденных колебаний точки при резонансе является синусоида, заключенная между двумя прямыми и ,

п роходящими через точки и (рис. 14).

Рассмотренный случай колебаний при резонансе без сопротивления практически не встречается, так как при движении всегда есть силы сопротивления движению. Установленный теоретически бесконечный рост амплитуды в действительности тоже не наблюдается, хотя амплитуды при резонансе

достигают довольно большие значения по сравнению со случаем отсутствия резонанса.