2.5. Вынужденные колебания в среде с сопротивлением.
Рассмотрим влияние сопротивления движению на вынужденные колебания материальной точки, полагая модуль силы сопротивления пропорциональным первой степени скорости.
Пусть
на прямолинейно движущуюся точку массы
действуют: восстанавливающей силы
,
пропорциональной отклонению точки от
положения равновесия; возмущающая сила
,
изменяющаяся по гармоническому закону;
и сила сопротивления движению
.
Точка
с приложенными к ней силами и оси
координат изображены на рис.15. Основное
уравнение динамики точки имеет вид:
Спроектировав его на ось , получаем дифференциальное уравнение движения точки:
,
где
,
,
Перенося все члены в левую часть и деля
их на массу
,
получаем:
.
(2.35)
Здесь частота свободных колебаний; —величина, называемая коэффициентом затухания; и имеет размерность ускорения.
Уравнение (2.35)—дифференциальное уравнение вынужденных колебаний при наличии сопротивления движению, пропорционального скорости.
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (2.35) состоит из общего решения однородного уравнения
(2.36)
и частного решения данного неоднородного уравнения (2.35):
.
Общее решение
однородного уравнения (2.36)
в зависимости от соотношения между
величинами
и
было найдено в п.2.3 и имеет вид (2.15), (2.20)
и (2.21).
Частное решение неоднородного уравнения (2.35) ищем в виде
.
Постоянные
и
определяются из условия: если подставить
в рассматриваемое неоднородное
дифференциальное уравнение (2.35), то оно
превратится в тождество. Вычислим для
этого производные от
:
; 
.
Подставим и вычисленные производные в уравнение (2.35):
(2.37)
Преобразуем правую часть этого равенства так, чтобы в нее входили косинус и синус такого же аргумента, что и у функции . Для этого следует к фазе правой части прибавить и вычесть величину и раскрыть синус суммы:
=
.
Подставим это выражение
в правую часть равенства (2.37), перенесем
все члены в левую часть и сгруппируем
отдельно члены, содержащие
и
.
Получим тождество
Это равенство
справедливо при всех значениях аргумента
лишь при равенстве нулю коэффициентов
при
и при
.
Приравниваем эти коэффициенты нулю:
, 
.
Из этих уравнений определяем значения и :
, 
, 
.
Тогда
,
.
Отсюда
.
Из формулы для
следует, что
является положительной величиной.
Следовательно,
.
Поэтому для определения
достаточно использовать формулу только
для одной тригонометрической функции,
например для
.
Окончательно частное решение неоднородного уравнения (2.35):
,
(2.38)
где
, , . (2.39)
Общее
решение
уравнения (2.35) в зависимости от соотношения
между величинами
и
(см. п. 2.3) имеет вид
1) при
,
2) при
,
3) при
,
где и —постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями.
Из этих формул видно,
что движение материальной точки под
действием восстанавливающей и возмущающих
сил и силы сопротивления среды,
пропорциональной скорости точки,
представляет собой наложение собственно
вынужденных колебаний на затухающие
колебания при
или наложение вынужденных колебаний
на апериодическое движение при
.
Наличие
множителя
в членах, соответствующих затухающим
колебаниям или апериодическому движению,
приводит к быстрому затуханию этих
движений. Поэтому при установившемся
режиме, то есть через достаточно большой
промежуток времени после начала движения,
результирующее движение точки практически
состоит только из собственно вынужденных
колебаний, определяемых уравнением
(2.38) и можно считать, что
:
.
(2.40)
где , .
Установим зависимость амплитуды вынужденных колебаний
от изменения частоты
возмущающей силы
.
Для этого воспользуемся коэффициентом
динамичности
(см. п. 2.4). Этот коэффициент представляет
собой отношение амплитуды вынужденных
колебаний под действием возмущающей
силы, модуль которой
,
к статическому отклонению точки от
начала координат
под действием постоянной силы
:
.
Введем обозначения:
—коэффициент
расстройки, или относительная частота
возмущающей силы;
—относительный
коэффициент затухания.
Тогда
.
(2.41)
Исследуем изменение
коэффициента динамичности
в зависимости от изменения
при фиксированных значениях
.
Для этого введем функцию
.
Очевидно, что когда
достигает максимума, то
имеет минимум и наоборот.
Для определения экстремальных значений вычислим ее производные по :
.
Функция
достигает экстремума при тех значениях
,
для которых
.
Из этого условия для
получим два значения:
, 
.
Так как
относительная частота
может быть только положительной, или
равна нулю при постоянной возмущающей
силе, то
;
следовательно,
.
Для таких
функция
имеет экстремум:
—при
вторая производная
,
функция
достигает максимума, а коэффициент
динамичности
—минимума;
—при
,
наоборот,
и, следовательно,
имеет минимум, а коэффициент динамичности
—максимум.
Для значений
,
при которых
(
)
имеем
и
.
Дополнительные исследования третьей
и четвертой производных показывают,
что в этом случае
при
достигает минимума, а коэффициент
динамичности имеет максимум. Других
экстремумов у функции
нет.
Для значений
,
при которых
значение
чисто мнимое. Это можно объяснить как
отсутствие других значений
,
кроме
,
при которых функция
достигает экстремума. При
функция
достигает минимума, а коэффициент
динамичности—максимума.
Таким
образом, с увеличением
коэффициент динамичности
при
монотонно убывает от своего максимума
при
до нуля при
.
Н
а
рис.16 изображен график изменения
коэффициента динамичности
в зависимости от относительной частоты
при различных значениях коэффициента
,
при этом использованы результаты,
полученные при отсутствии сопротивления,
когда
(см. рис.13).
Из
проведенного исследования и этого
графика можно сделать некоторые выводы
о влиянии линейного сопротивления на
вынужденные колебания. Так, максимум
коэффициента динамичности, следовательно,
и максимум амплитуды вынужденных
колебаний наступает не при резонансе,
когда
(
,т.
е. совпадают частоты собственных
колебаний и возмущающей силы), а при
значении
,
меньшем единицы. Чтобы получить величину
максимальной амплитуды
,
следует в ее выражение (2.41) вместо
подставить
,
что соответствует, так называемому,
критическому значению частоты
возмущающей силы
.
Поэтому
.
При малых по сравнению с единицей приближенно
.
Амплитуду вынужденных
колебаний при резонансе
получаем из (2.42) при
:
.
Отсюда
следует, что амплитуда вынужденных
колебаний при резонансе меньше
максимальной амплитуды, которая
достигается при
.
Критическая
частота, при которой амплитуда вынужденных
колебаний достигает максимума, уменьшается
с увеличением коэффициента затухания.
Величины
и
тоже при этом уменьшаются.
Из формулы (2.40) и проведенного ее анализа следуют основные свойства вынужденных колебаний при наличии линейного сопротивления.
—Вынужденные колебания при линейном сопротивлении являются незатухающими, т. е. амплитуда их постоянна как при отсутствии резонанса, так и при резонансе. Они не затухают потому, что возмущающая сила все время поддерживает колебательное движение точки. В этом состоит главное отличие вынужденных колебаний от свободных колебаний, которые затухают даже при незначительном сопротивлении.
—Вынужденные колебания при линейном сопротивлении не зависят от начальных условий, так же как они не зависят от них при отсутствии сопротивления. Следовательно, их нельзя возбудить с помощью ненулевых начальных условий. Для возникновения вынужденных колебаний на точку должно действовать возмущение.
—Частота
и период
вынужденных колебаний точки при наличии
сопротивления равны частоте и периоду
изменения возмущающей силы, то есть
сопротивление не влияет на частоту и
период вынужденных колебаний.
—Фаза
вынужденных колебаний точки при наличии
сопротивления
отстает от фазы возмущающей силы
на величину
,
называемую сдвигом фаз.
—Амплитуда и сдвиг фаз вынужденных колебаний зависят от частот собственных ( ) и вынужденных ( ) колебаний и коэффициента затухания . Чем больше коэффициент затухания при прочих равных условиях, тем меньше амплитуда вынужденных колебаний.
—В
случае резонанса
при линейном сопротивлении амплитуда
вынужденных колебаний не возрастает
пропорционально времени, как при
отсутствии сопротивления, а остается
постоянной величиной. Достаточно как
угодно малого сопротивления, чтобы
амплитуда вынужденных колебаний при
резонансе была постоянной, хотя, возможно,
и достаточно большой, но не переменной,
растущей с течением времени.