36. Требования, предъявляемые к статистическим оценкам

Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое именно распределение имеет признак. Возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распределение.

Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь данные выборки, полученные в результате n наблюдений (здесь и далее наблюдения предполагаются независимыми). Через эти данные и выражают оцениваемый параметр. Рассматривая значения количественного признака как независимые случайные величины, можно сказать, что найти статистическую оценку неизвестного параметра теоретического распределения - это значит найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая и дает приближенное значение оцениваемого параметра.

 Итак, статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин.

Для того чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям: оценка должна быть несмещенной, эффективной и состоятельной.

Поясним каждое из понятий.

  Несмещенной называют статистическую оценку Q^*, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру Q при любом объеме выборки, т. е.

M(Q^*) = Q.

37. Общие положения теории проверки гипотез

Критерий применяется в частности для проверки гипотез о виде распределения генеральной совокупности.

Процедура применения критерия для проверки гипотезы H₀, утверждающей, что СВ Х имеет закон распределения состоит из следующих этапов.

Этапы:

1. По выборке найти оценки неизвестных параметров предполагаемого закона .

2. Если Х-СВДТ - определить частоты , i = 1, 2, …, r, с которым каждое значение встречается в выборке.

Если Х-СВНТ - разбить множество значений на r - непересекающихся интервалов и попавших в каждый из этих интервалов .

38. Понятие стандартизированного статистического критерия

Пусть даны выборка  из неизвестного совместного распределения , и семейство статистических гипотез . Тогда статистическим критерием называется функция, устанавливающая соответствие между наблюдаемыми величинами и возможными гипотезами:Таким образом каждой реализации выборки  статистический критерий сопоставляет наиболее подходящую с точки зрения этого критерия гипотезу ораспределении, породившем данную реализацию.

39. Односторонняя и двусторонняя проверка гипотез

При двустороннем тесте мы проверяем гипотезу H0:β=β0(в частности, β=0), используя альтернативную гипотезу H1:β≠β0.

При одностороннем тесте альтернативная гипотеза меняется на H1:β>β0 и H1:β<β0 в зависимости от того, какое влияние оказывает x на y (положительное или отрицательное соответственно). При этом у нас должны быть веские причины считать, что это влияние положительно/отрицательно.

 

40. Ошибки первого и второго рода при проверке гипотез

Пусть дана выборка   из неизвестного совместного распределения  , и поставлена бинарная задача проверки статистических гипотез:

где   — нулевая гипотеза, а   — альтернативная гипотеза. Предположим, что задан статистический критерий

,

сопоставляющий каждой реализации выборки   одну из имеющихся гипотез. Тогда возможны следующие четыре ситуации:

1. Распределение   выборки   соответствует гипотезе  , и она точно определена статистическим критерием, то есть  .

2. Распределение   выборки   соответствует гипотезе  , но она неверно отвергнута статистическим критерием, то есть  .

3. Распределение   выборки   соответствует гипотезе  , и она точно определена статистическим критерием, то есть  .

4. Распределение   выборки   соответствует гипотезе  , но она неверно отвергнута статистическим критерием, то есть  .

41. Проверка гипотезы о величине генеральной средней

Требуется проверить гипотезу H₀ = {a = a₀} против альтернативной гипотезы H₁ = {a ≠ a₀} и точное значение  известно.

Мы знаем, что случайная величина  подчиняется стандартному нормальному распределению при выполнении гипотезы H₀. Ранее получили доверительный интервал 

Отсюда получаем статистический критерий для проверки  H₀ против H₁:

Если   (1) то принимаем H₀, в противном случае гипотезу H₀ отвергаем в пользу H₁.

Из этого критерия мы видим, что, если выборочное среднее   близко к a₀, то гипотеза H₀ правдоподобна, если же  сильно отклоняется от a₀, то H₀ –неправдоподобна.

42. Проверка гипотезы о величине генеральной дисперсии

Требуется проверить гипотезу H₀ = {² = ²₀} против альтернативной гипотезы H₁ = {² ≠ ²₀} при этом точное значение a известно.

Мы знаем, что случайная величина   подчиняется распределению   при выполнении гипотезы H₀.

Из доверительного интервала   получаем критерий для проверки гипотезы H₀ против H₁ при уровне значимости α:

Если   (3) ,то гипотеза H₀ принимается, в противном случае гипотеза H₀ отвергается в пользу H₁.

Если нарушается левое неравенство в (3), то неизвестная дисперсия существенно меньше ₀², а если правое – больше ₀².

Пример 3. В лаборатории имеются высокоточные весы. Согласно инструкции их точность, измеряемая дисперсией погрешности, не должна превышать 0,04. Для проверки точности эталонный вес, равный 5 мг, взвесили 10 раз на этих весах, и вычислили величину  . Надо проверить гипотезу о том, что точность весов удовлетворяет стандарту.

Решение: Здесь a = 5 мг, по умолчанию α = 0,05. Введём гипотезы H₀ = {² = 0,04=0,2²}, H₁ = {²  0,04} (т.е. ₀=0,2).