47.Определение доверительного интервала для оценки математического ожидания при известном s (ско)

Пусть количественный признак генеральной совокупности распределен нормально. Известно среднее квадратическое отклонение  этого распределения -. Требуется оценить математическое ожидание а по выборочной средней. Найдем доверительный интервал, покрывающий а с надежностью . Выборочную среднюю будем рассматривать как случайную величину ( она изменяется от выборки  к выборке), выборочные значения признака- как одинаково распределенные независимые СВ с математическим ожиданием каждой а и средним квадратическим отклонением . Примем без доказательства, что если величина Х распределена нормально, то и выборочная средняя тоже распределена нормально с параметрами

 .

Потребуем, чтобы выполнялось равенство

  

Заменив Х и , получим

  

получим

Задача решена.  Число t находят по таблице функции Лапласа Ф(х).

Пример1. СВХ распределена нормально и  =3. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания по выборочным средним, если n = 36 и задана надежность  =0,95.

Из соотношения 2Ф(t)= 0,95 , откуда Ф(t) = 0,475 по таблице  найдем t : t =1,96. Точность оценки

Доверительный интервал

    .

Пример2. Найти минимальный объем выборки, который обеспечивает заданную точность  =0,3 и надежность  = 0,975, если СВХ распределена нормально и  =1,2.

                                            Из равенства

  

                                           выразим n:

 ,

48. Определение доверительного интервала для оценки математического ожидания при неизвестном s (ско)

Т.к. мы не знакомы с законами распределения СВ, которые используются при выводе формулы, то примем ее без доказательства.

В качестве неизвестного параметра используют исправленную дисперсию s² . Заменяя  на s, t на величину t_. Значение  этой величины зависит от надежности  и объема выборки n  и определяется  по" Таблице значений t_."  Итак :

и доверительный интервал имеет вид

Пример1. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания с надежностью 0,95, если объем выборки n =16, среднее выборочное и исправленная дисперсия соответственно равны 20,2 и 0,8.

По таблице приложения найдем t_по заданной надежности  =0,95 и n= 16: t_ =2,13. Подставим в формулу s =0,8 и t_ =2,13 , вычислим границы доверительного интевала:

 ,

откуда получим доверительный интервал (19,774; 20,626)

Смысл полученного результата: если взять 100 различных выборок, то в 95 из них математическое ожидание будет находится в пределах данного интервала, а в 5 из них- нет.

Пример2. Измеряют диаметры 25 корпусов электродвигателей. Получены выборочные характеристики

     

Необходимо найти вероятность (надежность) того, что

- является доверительным интервалом оценки математического ожидания при нормальном распределении.

Из условия задачи найдем точность , составив и решив систему:

                 Откуда  =10.          Из равенства 

  

                                                         выразим  

49. Определение доверительного интервала для оценки среднего квадратического отклонения (ско) и дисперсии

Требуется оценить неизвестную генеральную дисперсию и генеральное среднее квадратическое отклонение по исправленной дисперсии, т.е. найти доверительные интервалы, покрывающие параметры Dи  с заданной надежностью .

Потребуем выполнения соотношения

 .

Раскроем модуль и получим двойное неравенство:

 .

Преобразуем:

 .

Обозначим s = q (величина q находится по  "Таблице значений q"и зависит от надежности и объема выборки), тогда доверительный интервал для оценки генерального среднего квадратического отклонения имеет вид:

 .

Замечание : Так как  >0, то если q >1 , левая граница интервала равна 0:                  

 0<  < s ( 1 + q ).

Пример1.  По выборке объема n = 25 найдено "исправленное" среднее квадратическое отклонение s = 0,8.  Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,95.

По таблице приложения по данным :  = 0,95; n =25 , находим q = 0,32.

Искомый доверительный интервал 0,8(1- 0,32)<  < 0,8(1+ 0,32) или  0,544< <0,056.

Пример2. По выборке объема n = 10 найдено s = 0,16. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,999.

q( n=10,  =0,999) = 1,8>0.

Искомый доверительный интервал  0<  <0,16(1+1,8)  или  0<  <0,448.

Так как дисперсия есть квадрат среднего квадратического отклонения, то доверительный интервал, покрывающий генеральную дисперсию с заданной надежностью , имеет вид: