45. Точность и надежность оценок

Прежде всего, от оценки θn хотелось бы требовать, чтобы по мере роста числа наблюдений п она стремилась к оцениваемому параметру, т.е. чтобы для любого сколь угодно малого £>0 было справедли­во предельное равенство

Также от «хорошей» оценки естественно требовать, чтобы она не содержала систематической ошибки, т.е. при любом фиксирован­ном объеме выборки результат осреднения по всем возможным вы­боркам данного объема должен приводить к точному значению па­раметра:

Наконец, от оценки θn желательно требовать, чтобы она была наиболее точной в некотором классе оценок в, т.е. имела минималь­ную дисперсию:

46. Понятие доверительной вероятности и доверительного интервала

Чтобы дать представление о точности и надежности оценки  , в математической статистике пользуются так называемыми доверительными интервалами и доверительными вероятностями.

Пусть для параметра   получена из опыта несмещенная оценка  . Мы хотим оценить возможную при этом ошибку. Назначим некоторую достаточно большую вероятность   (например,     или  ) такую, что событие с вероятностью   можно считать практически достоверным, и найдем такое значение  , для которого

.                 (14.3.1)

Тогда диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при замене   на  , будет  ; большие по абсолютной величине ошибки будут появляться только с малой вероятностью  .

Перепишем (14.3.1) в виде:

.                   (14.3.2)

Равенство (14.3.2) означает, что с вероятностью   неизвестное значение параметра   попадает в интервал

.                 (14.3.3)

При этом необходимо отметить одно обстоятельство. Ранее мы неоднократно рассматривали вероятность попадания случайной величины в заданный неслучайный интервал. Здесь дело обстоит иначе: величина   не случайна, зато случаен интервал  . Случайно его положение на оси абсцисс, определяемое его центром  ; случайна вообще и длина интервала  , так как величина   вычисляется, как правило, по опытным данным. Поэтому в данном случае лучше будет толковать величину   не как вероятность «попадания» точки   в интервал  , а как вероятность того, что случайный интервал   накроет точку   (рис. 14.3.1).

Рис. 14.3.1.

Вероятность   принято называть доверительной вероятностью, а интервал   - доверительным интервалом. Границы интервала  :   и   называются доверительными границами.

Дадим еще одно истолкование понятию доверительного интервала: его можно рассматривать как интервал значений параметра  , совместимых с опытными данными и не противоречащих им. Действительно, если условиться считать событие с вероятностью   практически невозможным, то те значения параметра  , для которых  , нужно признать противоречащими опытным данным, а те, для которых  , - совместимыми с ними.

Перейдем к вопросу о нахождении доверительных границ   и  .

Пусть для параметра   имеется несмещенная оценка  . Если бы нам был известен закон распределения величины  , задача нахождения доверительного интервала была бы весьма проста: достаточно было бы найти такое значение  , для которого

.

Затруднение состоит в том, что закон распределения оценки   зависит от закона распределения величины   и, следовательно, от его неизвестных параметров (в частности, и от самого параметра  ).

Чтобы обойти это затруднение, можно применить следующий грубо приближенный прием: заменить в выражении для   неизвестные параметры их точечными оценками. При сравнительно большом числе опытов   (порядка  ) этот прием обычно дает удовлетворительные по точности результаты.