3.1. Воздействие на rc-цепь скачка напряжения

3.1.1. Процесс разряда конденсатора

И сходное состояние схемы: напряжение на емкости , ток в цепи отсутствует , генератор ЭДС подключен к цепи. Момент коммутации цепи , т.е. в этот момент генератор ЭДС отключается (рис. 3.2).

Разряд емкости сопровождается появлением тока в цепи

.

Сразу после коммутации напряжение на емкости сохраняется прежним , а ток в цепи максимален (рис. 3.3).

П ереходной процесс разряда емкости описывается следующим уравнением

, , где

(знак минус отражает тот факт, что напряжение на емкости с течением времени уменьшается), причем .

В результате решения уравнения получаем

,

где - решение характеристического уравнения

, т.е. ,

следовательно,

.

Подставив в решение начальное условие: , , имеем , т.е.

.

3.1.2. Процесс заряда конденсатора

Исходное состояние схемы:

- напряжение на емкости ;

- ток в цепи ;

- генератор ЭДС отключен;

- момент коммутации .

Состояние схемы сразу после коммутации:

- напряжение на емкости сохраняется ;

- ток в цепи максимален, так как ЭДС приложено только к резистору (емкость является короткозамкнутой) (рис. 3.4).

В течение переходного процесса по мере заряда конденсатора ток в цепи уменьшается, а напряжение на емкости растет.

После завершения переходного процесса установившийся режим схемы: , (рис. 3.5).

Аналитически переходной процесс заряда описывается дифференциальным уравнением, которое записывается на основании 2-го закона Кирхгофа

, или ,

с учетом

имеем

, где .

Решение уравнения состоит из свободной составляющей, которая определяется только внутренними параметрами цепи, и установившейся (вынужденной) составляющей:

.

Свободный режим определяется при отсутствии внешнего воздействия , т.е.

,

откуда

.

Установившийся (вынужденный) режим соответствует статическому случаю:

, , поэтому .

В целом переходной процесс состоит из двух составляющих

.

Начальные условия схемы , определяют из этого уравнения неизвестную константу, т.е. , откуда

.

3.1.3. Особенности переходного процесса

Процесс протекает во времени неравномерно (нелинейно). Вначале после коммутации скорость изменения напряжения велика, а затем переходной процесс замедляется.

Скорость переходного процесса в начальный момент времени определяется временным параметром цепи: – постоянной времени

, .

За время, равное постоянной времени , напряжение на емкости изменяется в раз

,

т.е. на 63% от начального значения (рис. 3.6).

Чем больше постоянная времени, тем медленнее протекает переходной процесс (рис. 3.7).

Длительность переходного процесса определяют в зависимости от уровня условного порога переходного напряжения:

А) десятикратное изменение напряжения

, , , .

Б) практическая длительность переходного процесса (рис. 3.8):

, при этом ;

, тогда .

Постоянная времени не зависит от начального напряжения на конденсаторе (рис. 3.9).

Общий закон изменения напряжения при заряде конденсатора:

.

Если при начальное напряжение , то величина константы

, .

Тогда заряд емкости при наличии начального напряжения описывается следующей формулой

.

Общая формула определения длительности переходного процесса по заданному пороговому уровню (см. рис. 3.9):

, ,

.

Частные случаи расчета длительности переходного процесса следуют из этой общей формулы:

а) длительность заряда разряженного конденсатора: (рис. 3.10)

;

б) длительность разряда конденсатора: , (рис. 3.11)

, ;

в ) заряд конденсатора при наличии начального напряжения на конденсаторе: , при (рис.3.12)

;

г) заряд конденсатора при наличии напряжения противоположной полярности (рис. 3.13)

; ;

Длительность переходного процесса между двумя уровнями напряжения (рис. 3.14)

, ,

.

С тандартные уровни напряжений соответствуют , , тогда

.