Сумма всех вероятностей и здесь равна 1.

2. Аналитическая форма представления ряда распределения

Иногда можно не выписывать отдельно каждую вероятность, а задать одну общую формулу, по которой подсчитываются вероятности для всех возможных значений случайной величины.

В этом случае все равно нужен список возможных значений случайной величины Х:

Х = { x ₁ , x ₂ , x ₃ , . . . , x _n } /

И к нему добавляется формула для подсчета вероятностей каждого из них:

p _i = P ( X = x _i ) = f ( i )

Тот же Пример 1 : Случайная величина Х - число очков на кубике.

Выписываем возможные значения Х = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } /

и вероятности: p _i = 1 / 6

Ряд распределения задан.

2. Графическая форма представления ряда распределения

Каждое возможное значение случайной величины имеет свою вероятность появления. Т.е., характеризуется парой чисел

( x _i , p _i ) .

Пара чисел – это точка на плоскости. Нанеся все эти точки на график, получим графическое представление ряда распределения. Обычно его представляют в одном из двух видов и соответственно по-разному называют.

Этим способом представления ряда распределения пользуются, для того, чтобы получить наглядное представление, какие из возможных значений случайной величины появляются чаще, а какие реже.

Как узнать закон распределения для той случайной величины, с которой приходится работать?

Во многих случаях его удается построить из теоретических соображений, как это сделано в приведенных выше примерах.

Возможные значения случайной величины определяются исходя из условий опыта, из того, какая именно случайная величина рассматривается.

Вероятности подсчитываются по классическому определению или с использованием формул для суммы и произведения событий.

Если теоретически построить ряд распределения нельзя, то информацию о нем можно получить, проведя ряд наблюдений над случайной величиной и проведя обработку этих статистических данных. Как это делается, вы узнаете, изучая математическую статистику.

В рассмотренных выше примерах каждый раз отмечалось, что если сложить все вероятности в ряде распределения, то получаем 1.

Пусть

Пусть { x ₁ , x ₂ , x ₃ , . . . , x _n } – все возможные значения случайной величины. Запишем события:

( X = x ₁ )

( X = x ₂ )

( X = x ₃ )

. . . .

( X = x _n )

Мы перебрали все возможные варианты. Т.е., события образуют полную группу. Кроме того, они попарно несовместны (в одном опыте случайная величина принимает только одно значение). По доказанной ранее теореме, сумма всех вероятностей должна равняться 1.

А теперь выясним, как мы можем использовать ряд распределения, если он у нас есть.

Если ряд распределения задан, мы можем прогнозировать поведение случайной величины.

Так как она случайная, мы не знаем, какое значение она примет в очередном опыте.

Но мы можем рассчитать вероятность того, что она примет интересующее нас значение, попадет в интересующий нас интеграл.

Пример 5 :

Задан ряд распределения .

x i	2	5	7	11
p i	0,2	0,4	0,1	0,3

Подсчитать вероятность того, что случайная величина примет заданное значение:

это вероятность того, что случайная величина X примет значение, равное (-4). Но она может принимать только значения, указанные в таблице : ( 2, 5, 7, 11 ). Значит событие (X= – 4) - невозможное, и его вероятность равна нулю :

.

Подсчитать вероятность того, что случайная величина попадет в заданный интервал:

это вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее (-2). Таких значений у нее нет.

Это может произойти в случае, если она примет значение , равное (2). .

Это может произойти в случае, если она примет значения , равные (7) или (11). (только эти два возможных значения больше либо равны (6) ).

Таким образом, событие ( X  6 ) можно представить как сумму двух несовместных событий :

_.

Соответственно и вероятность этого события равна:

Рассуждая каждый раз таким же образом, приходим к выводу, что для дискретной случайной величины вероятность попадания в какую-либо область равна сумме вероятностей тех из возможных значений, которые попадают в эту область:

О бобщая результаты этого примера, придем к следующему правилу