2. Область значений: 0  f ( X )  1

(значения функции – это вероятность, она меняется от 0 до 1 )

3. F (–∞) = 0 ( P(X  -∞) = P(V) = 0 )

F (+∞) = 1 ( P(X  +∞) = P(U) = 1 )

4. F(x) – неубывающая функция: x₁ < x₂  F(x₁)  F(x₂)

(если x растет, область слева от него расширяется, и вероятность попадания в нее меньше стать не может)

5. Наконец, главная формула, которая необходима для прогнозирования поведения случайной величины –

Чтобы подсчитать вероятность попадания в заданный интервал, нужно собрать все вероятности, лежащие на этом интервале. Функция распределения собирает, накапливает вероятности. Поэтому нужно взять количество вероятности, накопленное к точке x₂ и вычесть вероятность, накопленную к точке x₁ .

Доказательство:

Событие (попадание в большую область)

можно записать как сумму двух несовместных событий

(попадание в меньшую область) + (попадание в интервал x₁  X < x₂ )

( X < x₂ ) = ( X < x₁ ) + ( x₁  X < x₂ )

P( X < x₂ ) = P( X < x₁ ) + P( x₁  X < x₂ )

F( x₂ ) = F( x₁ ) + P( x₁  X < x₂ )

Замечание: Функция распределения F(x) – универсальный способ задания закона распределения. Он пригоден и для дискретных и для непрерывных случайных величин.

С ростом аргумента x идет накопление вероятности. Для дискретных случайных величин рост F(x) происходит скачком, при переходе через очередное возможное значение x _i . Для непрерывной случайной величины. F(x) и вероятность накапливает непрерывно.

§2.5. Числовые характеристики

дискретных случайных величин

Закон распределения полностью определяет случайную величину

И позволяет прогнозировать ее поведение.

Если мы знаем закон распределения, мы знаем о случайной величине все.

Но во многих случаях достаточно знать не весь закон распределения,

А только несколько чисел, характеризующих этот закон.

Это – числовые характеристики распределения.

Выделяют две основные группы таких чисел.

I. Характеристики положения:

1. Математическое ожидание случайной величины;

2. Мода;

3. Медиана.

II. Характеристики рассеивания (разброса):

1. Среднее абсолютное отклонение;

2. Дисперсия;

3. Среднеквадратическое (стандартное) отклонение.

Кроме того, рассматриваются также (хотя и намного реже)

1. Начальные и центральные моменты:

2. Асимметрия

3. Эксцесс.

Характеристики положения.

1. Математическое ожидание М[X]

Пусть задана дискретная случайная величина:

x i	2	5	8
p i	0,7	0,2	0,1

Найдем среднее из всех возможных значений. Обычно в таких случаях суммируют все усредняемые значения и делят на их количество, т.е., вычисляют

среднее арифметическое: .

Но возможные значения случайной величины не равноправны. Возможное значение 2 появляется в 7 раз чаще, чем значение 8. У них разная частота появления, разные вероятности, разный вес. И когда мы усредняем возможные значения, это обязательно нужно учитывать.

В математике для этого есть такое понятие как средневзвешенное. При таком усреднении каждое из значений умножается на его вес, на его долю, а затем все эти произведения складываются

2 • 0,7 + 5 • 0,2 +8 • 0,1 = 3,2.

Подсчитанное таким образом среднее значение случайной величины и называется математическим ожиданием.

Определение: математическим ожиданием случайной величины называется средневзвешенное ее возможных значений.

Процесс усреднения проводится следующим образом:

каждое из возможных значений умножается на его вероятность, и затем эти произведения суммируются.

;

.

И зобразим возможные значения случайной величины на числовой оси (на этот раз в масштабе) и кроме того, сами точки тоже будут иметь масштаб, соответствующий вероятности этих значений.

Оказывается, что математическое ожидание находится в центре тяжести этой системы.