§2.4. Функция распределения f(X)

Для дискретной случайной величины все ее значения можно указать персонально. У непрерывной случайной величины таких значений бесконечно много (на любом интервале бесконечно много точек). Записать каждое из них, а тем более выписать вероятность для каждого в отдельности невозможно. Поэтому для задания закона распределения приходится поступать иначе.

Выделяют на оси ОХ интервал и задают вероятность попадания в этот интервал.

Функция распределения делает это следующим образом. На оси ОХ выбирается точка x, которая всю числовую ось делит на две области: справа и слева от этой точки x. Берут область слева от этой точки и задают вероятность попадания в эту область.

Определение: Функцией распределения называется функция F( x ), которая для каждого значения аргумента равна вероятности того, что случайная величина Х примет значение меньшее, чем аргумент

(Попадает в область, лежащую слева от аргумента).

Х

Х

Чтобы понять смысл этого определения, выяснить свойства функции распределения, рассмотрим сначала следующий пример.

Дискретная случайная величина задана рядом распределения

x i	2	5	7	11
p i	0,2	0,4	0,1	0,3

Построить значения функции распределения в заданных точках.

Для того, чтобы легче было объяснить смысл подсчетов, изобразим точки на числовой оси (не обязательно в масштабе)

Функция распределения в точке (-3) – это вероятность того, что случайная величина X окажется слева от точки (-3):

Но слева от точки (-3) у той случайной величины, которую мы сейчас рассматриваем, возможных значений нет. Значит событие (X<^-3) невозможное и вероятность его равна нулю.

Это вероятность попадания в область, лежащую слева от точки .

Попасть в область слева от точки () случайная величина может, если примет значение 2.

Э то вероятность попадания в область, лежащую слева от точки 6.

Событие (X<6) может произойти двумя способами: попадание в точку 2 или попадание в точку 5. Т.е., это сумма двух событий.

Это вероятность попадания в область, лежащую слева от точки 14.

Какое бы значение ни приняла эта случайная величина, все они меньше 14. Т.е., событие (X<14) происходит всегда, оно достоверное.

Чтобы подсчитать вероятность попадания в область, лежащую слева от точки X нужно собрать вероятности всех возможных значений, которые остаются слева от X .

Таким образом, по мере того как аргумент X возрастает, перемещается вправо по оси Ох, функция распределения собирает, накапливает вероятности.

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ:

1. Область определения: X  r

(вероятность можно подсчитывать для любого x )