2.7. Обратное интерполированиЕ

Пусть для функции составлена таблица с постоянным шагом и задано значение . Требуется по таблице найти такое значение , чтобы .

Первый способ решения поставленной задачи достаточно прост, а потому обеспечивает невысокую точность (зависящую, впрочем, от шага таблицы значений функции).

Обозначим , . Из формулы

выразим :

.

Значение находится по формуле

.

Рабочий лист MathCad может выглядеть так.

Как нетрудно проверить, с 5-ю знаками точное значение , .

Второй способ решения поставленной задачи способен дать в результате верные цифры с машинной точностью и заключается в применении метода последовательных приближений (или простых итераций).

Рассмотрим более простой случай равноотстоящих узлов (шаг таблицы ). Предположим, что функция монотонна и данное значение содержится между и . Заменяя функцию первым интерполяционным полиномом Ньютона, имеем:

.

Заданному значению соответствует значение . Выразим из второго слагаемого:

.

К полученному уравнению применим метод итераций. За начальное приближение возьмём

и построим последовательность приближений . Истинное значение равно

.

На практике процесс итераций продолжается до тех пор, пока не установятся цифры, соответствующие требуемой точности. Самый простой способ достичь этого – при заданном прекратить вычисления в момент . Найдя значение с требуемой точностью, определяем по формуле . Аналогично можно применять этот способ и к другим интерполяционным формулам.

Приведём рабочий лист MathCad.

Для того чтобы посмотреть все приближения к , в последнем цикле вместо stack(r,k) поставить r. Тогда будут выведены значения

Таким образом, для получили , ; точное значение , .

В случае произвольных узлов задача обратного интерполирования может быть непосредственно решена с помощью интерполяционной формулы Лагранжа. Для этого достаточно принять переменную за независимую и переписать формулу Лагранжа в виде

.

Рабочий лист MathCad, вычисляющий значение по данной формуле, рекомендуется разработать самостоятельно.

2.8. Полиномы Чебышёва

2.8.1. Системы функций, ортогональные с весом и задача наилучшего приближения

Пусть на отрезке задана непрерывная функция .

Система функций , , заданных на отрезке , называется ортогональной на этом отрезке с весом , если

при .

Нетрудно проверить, что из ортогональности с весом следует обычная ортогональность системы , .

Пусть на отрезке задана непрерывная функция и система функций , , ортогональна на этом отрезке с весом . Выберем из системы функций , например, первые функцию и составим полином

.

Коэффициенты , , подберём так, чтобы при фиксированном был минимален интеграл

.

Этот интеграл характеризует меру отклонения на отрезке функции от полинома . Коэффициенты, минимизирующие интеграл, обеспечивают наилучшую квадратичную аппроксимацию функции полиномом .

Интеграл можно переписать в виде

.

Значит, задача сводится к задаче о наилучшей непрерывной квадратичной аппроксимации функции с помощью ортогональных на отрезке функций , .

Решить задачу можно с использованием необходимого условия экстремума . Так как функция строго выпуклая, то решение последнего уравнения даст единственный набор коэффициентов.

Имеем

, ,

откуда

,

.

В силу ортогональности

при ,

поэтому

.

Значит,

.

Предполагая, что , , получаем вид коэффициентов:

, .