Введение
Всюду далее
рассматриваются числовые функции одного
переменного. В качестве имён функций
будем использовать большие и малые
буквы латинского алфавита, а аргумент
указывать в круглых скобках, например,
,
,
,
,
,
и т.п., а в качестве аргументов – только
малые буквы. Имя конкретной функции
будем отождествлять с правилом
преобразования аргумента в её значение.
Например,
,
.
Для краткости значение функции обозначают
буквой, например,
.
Аргумент функции
принимает значение из некоторого
промежутка
,
в качестве которого может выступать
любой интервал:
конечный – отрезок
,
полуоткрытые –
или
,
открытый –
;полубесконечный – лучи
или
;бесконечный – вещественная прямая
.
Говорят, что на
промежутке
определена (т.е. задана в каждой его
точке) функция
,
если каждому аргументу
по правилу
ставится в соответствие единственное
конечное значение
.
Мы будем использовать два способа задания функции – с помощью явного выражения и с помощью таблицы значений. Именно в таких видах функции часто возникают на практике при изучении различных процессов и явлений. При этом их явные выражения обычно не удобны для практических расчётов из-за больших вычислительных затрат, а в случае таблиц значений, как правило, вообще не имеет смысла говорить о какой-либо возможности восстановления явного вида.
Поэтому возникает проблема подбора вместо неудобной или неизвестной функции другой, более простой функции, с помощью которой можно было бы приближённо вычислять значения исходной функции. Процесс замены одной функции другой функцией, близкой в некотором смысле заменяемой, называется приближением или аппроксимацией.
Для осуществления такой замены выбирается класс приближающих функций и способ измерения расстояния от приближаемой функции до приближающей функции , например,
.
Классический способ приближения – это приближение алгебраическими полиномами вида
.
Ответ на вопрос о
возможности приближения некоторой
функции
полиномом, отвечает теорема Вейерштрасса:
для любой непрерывной функции
и произвольного числа
существует полином
целой степени
такой, что
.
В численных примерах
построение графика функции
позволяет наблюдать изменение погрешности
на промежутке аппроксимации, а также
оценить максимальную погрешность.
Учебное пособие состоит из трёх частей. В первой части приведены необходимые сведения из теории погрешностей. Во второй части изложены численные методы приближения функций. Здесь особое внимание уделено выводу интерполяционных полиномов, получению полиномов ручным способом (на бумаге) и численной реализации методов в среде MathCad. Рабочие листы MathCad по необходимости сопровождаются подробными комментариями. В прилагаемых упражнениях даются задания для самостоятельной работы, причём некоторые из них достаточно сложны. Третья часть посвящена обработке экспериментальных данных по методу наименьших квадратов. Показаны базовые виды аппроксимирующих зависимостей, уделено много внимания регрессионному анализу получаемого уравнения на качество. С использованием MathCad показано решение одной задачи, когда такой анализ помогает сделать выбор между двумя возможными уравнениями регрессии.