2.3.2. Вывод оценки погрешности

Возникает вопрос: насколько близко построенный полином приближается к функции в точках , , то есть насколько велика разность

,

называемая погрешностью интерполяции?

Для определения погрешности будем предполагать, что на отрезке функция имеет все производные до -го порядка включительно.

Введём вспомогательную функцию

,

где коэффициент подлежит определению. Очевидно, что , .

Пусть – произвольная точка, в которой оценивается погрешность. Тогда коэффициент нужно подобрать из условия :

.

При таком значении функция имеет на отрезке ровно корня . Следовательно, на основании теоремы Ролля производная обращается в нуль по крайней мере в точке. Применяя теорему Ролля к функции , получаем, что производная обращается в нуль по крайней мере в точках. Продолжая эти рассуждения дальше, получаем, что -я производная обращается в нуль по крайней мере в одной точке , то есть .

Полином Лагранжа имеет степень . Поэтому . Выражение

можно переписать в виде

,

где – полином степени . Так как

,

то

.

Таким образом,

,

а значит

.

Так как при найденном имеем , то отсюда

,

, , , , .

Введя обозначение

,

получаем оценку для абсолютной погрешности формулы Лагранжа:

.

2.3.3. Пример ручных вычислений

Составим полином Лагранжа по следующей таблице:

	1	1.5	2.5
	1

Перенумеруем узлы интерполирования:

	0	1	2
	1	1.5	2.5
	1

Имеем узлы , , и значения функции , , . Таким образом, будет построен полином степени .

Выпишем полином:

.

Подставим данные и вычислим (удобнее вычислять в обыкновенных дробях):

.

Сделаем проверку для узла (по основному свойству интерполирования должно выполняться равенство ):

,

результат верный.

Оценим абсолютную погрешность:

.

Найдём все величины:

,

,

.

Таким образом,

.

Вычислим точное значение функции, значение полинома и абсолютную погрешность, например, в точке :

,

,

.

Упражнения

Получить Лагранжа 2-й степени ручным способом:

1. с узлами , , ; вычислить точное значение функции, значение полинома и абсолютную погрешность в точке ;

2. с узлами , , ; вычислить точное значение функции, значение полинома и абсолютную погрешность в точке .

2.3.4. Интерполирование с использованием MathCad

Сначала покажем, как составить полином Лагранжа, используя выведенную выше формулу.

1) Негативный эффект

Приведём с комментариями рабочий лист MathCad.

Проверку правильности составления полинома следует проводить подстановкой , . И вот здесь мы наблюдаем негативный эффект, заключающийся в том, что вместо равенств имеем для всех . Действительно, вычисление в MathCad даёт:

Причина кроется в том, что вычисление значения полинома в некоторой точке MathCad производит по правилу . С учётом этого имеем

Поэтому, вычислив при некотором значение , MathCad далее в формуле для полинома использует данное нулевое значение. Другими словами, перед вычислением не производится сокращения дроби

.

Однако внутри таблицы в точках, не являющихся узловыми, всё вычисляется корректно.