2.5.2. Первая формула Ньютона. Оценка погрешности

Пусть для функции, заданной таблицей с постоянным шагом, составлена таблица конечных разностей. Следуя Ньютону, интерполяционный полином будем искать в виде:

.

Это полином n-ой степени. Значения коэффициентов найдём из основного свойства интерполяционного полинома: , .

Полагая , получаем

.

Полагая , получаем

,

откуда следует

.

Полагая , получаем

,

откуда следует:

,

.

Аналогично получаем . В общем случае имеем

.

Подставляя коэффициенты в выражение для , приходим к формуле Ньютона:

.

На практике эта формула применяется в ином виде. Так как , то последовательно имеем:

,

,

и т.д.

В общем случае .

Следовательно,

.

Эта формула называется первой интерполяционной формулой Ньютона или формулой Ньютона для интерполирования вперед. В неё входят конечные разности , ,..., , поэтому формулу выгодно использовать в окрестности начального значения , когда число шагов от точки до точки мало по абсолютной величине. В первой формуле , а в качестве можно использовать любое табличное значение.

Для оценки погрешности первой формулы Ньютона воспользуемся единственностью интерполяционного полинома для функции для всех . Это, в частности, означает, что для полиномов Лагранжа и Ньютона имеет место равенство (тождественное): . Поэтому можно воспользоваться формулой погрешности полинома Лагранжа:

,

.

Используя замену , получаем формулу:

,

.

Абсолютная погрешность оценивается неравенством:

,

.

Используя при малых приближённое равенство

,

получаем формулу

.

Упражнения

Получить полином Ньютона по первой формуле ручным способом:

3. с узлами , , ; вычислить точное значение функции, значение полинома и абсолютную погрешность в точке .

4. с узлами , , ; вычислить точное значение функции, значение полинома и абсолютную погрешность в точке .

2.5.3. Интерполирование с использованием MathCad

В MathCad таблица конечных разностей вычисляется следующим образом:

Полином имеет вид:

В выражении для каждое слагаемое пришлось домножить на , чтобы компенсировать накопление такой же степени в знаменателе выражения .

Графики полинома (сплошная линия) и функции (пунктирная линия):

В силу единственности интерполяционного полинома для оценки погрешности можно использовать оценку для полинома Лагранжа.

2.5.4. Вторая формула Ньютона. Оценка погрешности

В случае, когда (при котором надо вычислить значение полинома) находится ближе к концу таблицы, применять первую формулу невыгодно, так как при построении её от значений, близких к , число шагов будет велико и, следовательно, возрастёт погрешность интерполяции. Поэтому в данном случае целесообразно искать интерполяционный полином в следующем виде:

.

Как и для первой формулы, коэффициенты находятся из условия совпадения значений функции и интерполяционного полинома в узлах:

.

Подставляя в полином и переходя к переменной путём подстановки , получаем вторую интерполяционную формулу Ньютона (для интерполирования назад):

.

Оценка погрешности этой формулы получается после подстановки в оценку погрешности формулы Лагранжа вместо переменной x переменной по формуле :

,

,

.

Во вторую интерполяционную формулу Ньютона входят конечные разности , ,..., , поэтому её используют в окрестности начального значения . При этом шаг , а в качестве можно брать любое табличное значение.

Ньютон был вынужден вывести две интерполяционных формулы для того, чтобы сократить себе объём вычислительной работы. Дело в том, что если применить в начале таблицы, например, вторую формулу, то получится точно такой же результат, как если бы была применена первая формула. Однако вычислительной работы в этом случае будет намного больше, так как при этом привлекается большее количество узлов интерполирования.

Обратим внимание на то, что обе формулы Ньютона являются лишь другой формой записи интерполяционного полинома Лагранжа. Поэтому все эти формулы по своим результатам тождественны (для одних и тех же узлов). Однако в различных случаях применяют разные формулы. Дело в том, что обычно бывает удобнее вести вычисления, если при интерполировании сначала используются ближайшие к x узлы, а затем постепенно подключаются всё более удаленные. При этом первые члены интерполяционных полиномов дают основной вклад в искомую величину, а остальные будут давать лишь небольшие поправки. Чаще всего интерполяционные формулы для равных промежутков применяют для значений .

Упражнения

1. Получить полином Ньютона по второй формуле ручным способом:

   1. с узлами , , ; вычислить точное значение функции, значение полинома и абсолютную погрешность в точке .

   2. с узлами , , ; вычислить точное значение функции, значение полинома и абсолютную погрешность в точке .

2. Разработать рабочий лист MathCad для вычислений по второй формуле Ньютона.