Формулы комбинаторики

При вычислении вероятности по формуле (3) для нахождения и применяется та или иная формула комбинаторики, в зависимости от того, каким образом осуществляется выборка элементов из общего их числа.

Если даны различных элементов, то их можно объединить в группы с помощью перестановок , размещений и сочетаний .

С помощью перестановок находится число комбинаций из одних и тех же различных элементов, которые отличаются только порядком их расположения.

(6)

–(факториал), , .

Пример 8. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в число один раз.

Решение. .

Если опыт состоит в выборе элементов из элементов без возвращения, но с упорядочиванием их по мере выбора, то число комбинаций находится с помощью размещений.

(7)

Здесь всего – сомножителей.

Пример 9. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, …9.

Решение. Так как здесь выборка цифр осуществляется без возвращения и важен порядок цифр в числе, то искомое количество чисел находится по формуле (7).

.

В том случае, когда опыт состоит в выборе элементов из элементов без возвращения и без упорядочивания, то число комбинаций находится с помощью сочетаний.

. (8)

Пример 10. Из партии товара, в которой 31 изделие стандартных, а 6 изделий бракованных, берут наудачу 3 изделия. Чему равна вероятность, что

а) все три изделия стандартные (А),

б) хотя бы одно изделие бракованное (В),

в) по крайней мере, одно изделие стандартное (С).

Решение. а) Так как всего 37 изделий и выборка без упорядочивания, то общее число комбинаций находится как

.

Число комбинаций, благоприятствующих событию А равно

.

Тогда вероятность события А равна

.

б) Событие В противоположно событию А, поэтому

.

в) Прежде, чем найти вероятность события С, найдем вероятность противоположного события - все три изделия бракованные

.

Теперь легко найти вероятность события С, как

.

Пример 11. Партия товара содержит 10 изделий. Из них 5 изделий стоят по 4 рубля, 3 изделия – по 1 рублю, 2 изделия – по 3 рубля. Найти вероятность того, что взятые наудачу два изделия стоят 5 рублей.

Решение. Обозначим искомое событие – А.

.

Так как два изделия из десяти берутся без возвращения и без упорядочивания, то общее число комбинаций найдем как

.

Событие А состоится, если одно взятое изделие стоит 4 рубля, а другое – 1 рубль. Тогда число комбинаций, благоприятствующих событию А, находится по формуле (8)

.

Окончательно получим

.

Теорема сложения вероятностей

Второй метод нахождения вероятности основан на применении теорем.

Для несовместимых событий вероятность суммы конечного числа событий равна сумме их вероятностей.

(9)

Если условие несовместимости событий не выполняется, то вероятность суммы двух событий находится по формуле

(10)

Пример 12. Комплект ламп состоит из двух белых, трех красных и пяти синих ламп. Наугад извлекается одна лампа. Какова вероятность, что она не белая.

Решение. Обозначим события: А – извлечь красную лампу, В – извлечь синюю лампу.

Тогда событие – извлечь не белую лампу, запишется как .

Так как события А и В несовместимы, то

.