Понятие случайного события. Алгебра событий

Понятие случайного события является основным в теории вероятностей. Под событием понимается любой результат опыта или наблюдения. События делятся на три вида:

• достоверные, те, что обязательно произойдут при определенных условиях;

• невозможные, те, что заведомо не произойдут при определенных условиях;

• случайные, те, что могут произойти или могут не произойти при определенных условиях.

Важно помнить, что в теории вероятностей рассматриваются не единичные случайные события, а случайные события, которые многократно наблюдаются при выполнении одних и тех же условий.

Для обозначения событий используются первые заглавные буквы латинского алфавита: А, В, С, D,…..

Над событиями производятся алгебраические действия.

Суммой событий является новое событие, состоящее в том, что происходит хотя бы одно из слагаемых событий.

Например, означает, что произошло или событие А, или событие В, или оба эти события.

Произведением событий является новое событие, состоящее в том, что происходят все перемножаемые события.

Например, означает, что произошли события А и В.

Классификация событий

События называются совместимыми, если появление одного из них не исключает появление другого в результате того же опыта.

События называются несовместимыми, если возможно появление только одного из них.

Два несовместимых события называются противоположными, если в условиях опыта одно из них обязательно происходит. Обозначается, как и т.п.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате опыта появится хотя бы одно из них.

Понятие вероятности и частоты

Вероятность служит мерой объективной возможности появления события.

Вероятность события А обозначается символом Р(А).

Вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих наступлению данного события – , к общему числу всех исходов – , равновозможных, несовместимых и образующих полную группу.

(3)

Это определение вероятности называют классическим.

Следует иметь ввиду, что вероятность случайного события изменяется от 0 до 1, . Вероятность достоверного события равна 1; вероятность невозможного события равна 0.

Вероятность противоположного события находится по формуле

(4)

Вероятность события A не следует путать с частотой (частостью) события A.

Частота события А находится как отношение числа опытов, в которых это событие произошло, к общему числу фактически произведенных опытов.

(5)

Заметим, что вероятность можно вычислить до опыта, а частоту только после опыта.

Пример 6. Монета подброшена 7 раз. При этом «орел» выпал 2 раза. Тогда вероятность выпадения «орла» равна , так как всего два исхода опыта (две стороны монеты), а число благоприятствующих исходов равна 1.

Частота выпадения «орла» равна .

Пример 7. В лотерее играет 1000 билетов. На пять билетов падает выигрыш 200 рублей, на десять билетов – 50 рублей, на 100 билетов – 1 рубль. Остальные билеты не выигрышные. Какова вероятность выиграть по билету а) не менее 50 рублей, б) двести рублей?

Решение. Обозначим события

А – выиграть не менее 50 рублей, В – выиграть 200 рублей.

Тогда ,