2.3. Элементы обобщенной спектральной теории сигналов

Обобщенная спектральная теория сигналов объединяет методы математического описания сигналов и помех. Эти методы позволяют обеспечить требуемую избыточность сигналов с целью уменьшения влияния помех, облегчает анализ и синтез систем передачи информации и т.п.

Сигналы в обобщенной спектральной теории описываются в виде:

, (2.1)

где x(t) – описываемый сигнал;

с_k – коэффициенты разложения сигнала x(t) в ряд по системе функций ( фигурные скобки обозначают множество);

− заранее известные функции, входящие в систему (множество) ; система в данном случае состоит из n+1 членов.

О записи (2.1) еще говорят, что она описывает разложение сигнала x(t) в ряд по системе функций . Функции, входящие в систему , называют базисными, а саму систему − базисом разложения.

Если функции отвечают условию:

, (2.2)

то такие функции называются ортогональными. Это очень удобное свойство. Поэтому для разложений (2.1) чаще всего используют именно системы ортогональных функций.

Кроме того, выбирают функции, отвечающие еще одному условию:

. (2.3)

Функции, отвечающие условию (2.3) называются нормированными, а условиям (2.2) и (2.3) одновременно – ортонормированными.

Разложение (2.1), в котором используются ортогональные функции, называется ортогональным, а если используются ортонормированные функции, то ряд называется ортонормальным. Ряд Фурье является ортогональным, но не ортонормальным.

Ошибка разложения находится по формуле:

.

В качестве критерия ошибки будем использовать среднеквадратическую погрешность, которая в данном случае будет записываться в виде:

. (4)

Найдем выражение для коэффициентов c_k, минимизирующих среднеквадратическую погрешность ортогонального разложения. На коэффициенты при этом никаких условий не накладывается. Для минимизации следует решить систему уравнений при k=0, 1,…, n. Если при этом окажется, что , то найденное решение минимизирует .

Для решения задачи представим в виде:

.

Третье слагаемое с учетом ортогональности (2.2) равно: .

В результате: .

Находим производную:

.

Если предложить нормированность функций , то второе слагаемое равно 2с_k . В результате легко найти c_k:

. (2.5)

Несложно заметить, что вторая производная положительна. Таким образом, для того, чтобы среднеквадратическая погрешность ортонормального разложения была минимальна, коэффициенты разложения должны вычисляться по формуле (2.5).

Существует бесконечно много базисных систем. Легко показать, что при одном и том же числе n членов разложения в общем случае среднеквадратическая погрешность при их применении будет различна.

Можно поэтому подыскать такую базисную систему, при которой погрешность будет наименьшей.

Примером такого разложения является разложение в ряд Котельникова.

2.4. Дискретизация по времени

2.4.1. Разложение в ряд Котельникова (Теорема Котельникова)

Описанный здесь результат Котельниковым был получен 1933 г., но ранее подобные результаты были получены в 1915 г. Виттакером и в 1928 г. Найквистом.

Котельников доказал, что, если некоторый сигнал x(t) имеет ограниченный сверху частотой f_m спектр, то его можно проквантовать по времени с периодом и затем с абсолютной точность восстановить по формуле:

(2.6)

Ряд (2.6) называется рядом Котельникова, а вышеуказанное утверждение – теоремой Котельникова.

По определению сигнал x(t) и его спектр S(jω) находятся в следующих отношениях:

; (2.7)

. (2.8)

Формулы (2.7) и (2.8) образуют пару преобразований Фурье (прямое и обратное. Ограниченный интервал интегрирования в (2.8) – следствие ограниченности спектра, поскольку . Здесь ω – круговая частота, а .

Образуем новый спектр S_п(jω) путем периодического (с периодом 2ω_m) продолжения спектра S(jω) вдоль оси ω.

Тогда его, как периодическую функцию можно разложить в ряд Фурье:

, (2.9)

где . (2.10)

В формулах (2.8) и (2.10) можно подставлять как S(jω), так и S_п(jω), так как на участке интегрирования они равны.

Сравним (2.8) и (2.10). Интегралы совпадают, если в (2.8) положить:

Домножим, кроме того, правую и левую части (2.8) на . Тогда правая часть (2.8) совпадет с левой частью (2.10). Следовательно, можно приравнять и левые части:

.

Подставим выражение для с_k в (2.9):

. (2.11)

Подставим (2.11) в (2.8), так как S(jω) = S_п(jω) при –ω_m<=ω<=ω_m :

(2.12)

Возьмем интеграл .

Введем обозначение z=t-kΔt, тогда определенный интеграл берется:

.

Учитывая, что получаем:

. (2.13)

Подставим (2.13) в (2.12):

, что и требовалось доказать.

Обозначим .

Функция называется функцией отсчетов.

Тогда формула восстановления принимает вид:

На рис. 2.4 изображена форма двух разных функций отсчетов:

Рис. 2.4. Графики функций отсчетов.