2.4.1.1. Свойства функции отсчетов

1. Функция отсчетов имеет максимальное значение = 1 при .

2. симметрична относительно точки .

3. Функция отсчетов =0 при .

4. Система функций ортогональна: .

2.4.1.2. О практическом использовании теоремы Котельникова

Возможную схему квантования-передачи-восстановления непрерывного сигнала можно представить в виде, изображенном на рис. 2.5.

Рис. 2.5. Возможная схема квантования-передачи-восстановления непрерывного сигнала.

Технически восстановитель исходной функции может быть реализован при помощи электронного устройства, называемого идеальным фильтром нижних частот. Этот фильтр отличается тем, что на импульсное воздействие, описываемое так называемой дельта-функцией , реагирует сигналом h(t) в виде функции отсчетов .

Дельта-функция задается формулой:

.

Реакция h(t) идеального фильтра нижних частот на входное воздействие в виде дельта-импульса равна:

.

Фильтр нижних частот, как и широкий класс электрических схем, является линейным устройством. Эти устройства отличаются тем, что их реакция на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности. Таким образом, если на вход такого устройства к примеру подать последовательность импульсов, его реакция будет равна сумме реакций на каждый импульс в отдельности.

Так реализуется получение суммы в формуле (6). Но результат все же отличается:

.

Восстановленная функция оказывается смещенной по оси x на бесконечно большую величину.

Вторая принципиальная трудность практического использования теоремы Котельникова заключается в том, что все реальные сигналы конечны во времени. Математически доказывается, что в этом случае их спектр не ограничен максимальной частотой. Доказано, что ограниченный спектр могут иметь только сигналы бесконечно большой длительности.

По этой причине f_m приходится определять приближенно, руководствуясь, в зависимости от конкретных условий, различными рекомендациями.

Можно, например, f_m определить по доле энергии сигнала, сосредоточенной в диапазоне частот от 0 до f_m :

.

Некоторые рекомендации позволяют сразу определить период квантования. Это, например, рекомендация, предложенная Железновым в 1960 г., согласно которой период дискретизации предлагается выбирать равным так называемому интервалу корреляции:

, где - корреляционная функция.

Корреляционная функция связана со спектром следующей зависимостью:

.

Этот способ согласуется с результатом, полученным Котельниковым и, если спектр ограничен, дает полностью совпадающие результаты. Это означает, что отсчеты по Котельникову представляют собой ближайшие некоррелированные (независимые) значения квантуемого сигнала (если бы отсчеты брались с меньшим периодом, они были бы зависимы, т.е. несли бы частично совпадающую информацию, что излишне нагружало бы каналы связи).

В заключение заметим, что, хотя теорема Котельникова и базируется на идеализированной модели сигналов, она имеет большую практическую и теоретическую ценность.

2.4.2. Выбор периода дискретизации (квантования по времени) по критерию наибольшего отклонения

В результате квантования по времени функции x(t) получается ряд значений x(t₁), x(t₂), … квантуемой величины x(t) в дискретные моменты времени t₁, t₂, … Период квантования может быть постоянным, когда , и переменным, когда

Если функция x(t) имеет ограниченный максимальной частотой спектр, время ее воспроизведения и сложность воспроизводящего устройства не имеют существенного значения, хорошего воспроизведения можно достичь при помощи ряда Котельникова. Необходимая частота дискретизации при этом, как ранее было показано, равна удвоенной максимальной частоте, а период дискретизации , следовательно, находится по формуле .

Чаще, однако, одно или несколько из вышеуказанных условий не выполняется и тогда используют другие принципы выбора периода дискретизации и способы воспроизведения. Период дискретизации при этом, как правило, уменьшается в 5 – 10 раз.

При воспроизведении исходной функции широко используют хорошо проработанные в математике методы интерполяции, приближения и экстраполяции. При интерполяции по уже полученным отсчетам восстанавливаются прошлые значения функции, причем, чем больше этих отсчетов используется, тем точнее восстановление.

Методы экстраполяции позволяют предсказать будущие значения функции (прогнозировать), что для некоторых задач чрезвычайно важно (вспомним, например, прогноз погоды). И здесь, чем больше отсчетов используется для экстраполяции (предсказания), тем точнее предсказания выше.