2.2. Математическое описание синхронной машины. Семь уравнений движения

Вернемся к описанию простейшего элемента сложной системы в соответствии с рис. 1.9, 1.10 (п. 1.2). Как сказано выше, таким элементом является электропередача (рис. 2.3). Схему замещения электропередачи можно легко свести к схеме замещения вращающейся машины (рис. 2.4). Среди машин наиболее общее математическое описание имеет синхронная (синхронный генератор (СГ)). Именно ее будем рассматривать в качестве простейшего элемента, имея в виду, что модели остальных машин являются частным случаем.

Рис. 2.4. Структура уравнений движения и схема замещения синхронной машины

Рассмотрим традиционную математическую модель синхронной машины (СМ) в виде семи ДУ движения (рис. 1.10), построенную при использовании законов Кирхгоффа, применительно к неподвижным и вращающимся электромагнитным контурам статора и ротора [2, 5].

При записи уравнений используется прямоугольная вращающаяся с синхронной частотой ( ) система координат q, d [2, 5]. Запишем уравнения статорных цепей СМ (1 и 2, рис. 1.10) во вращающейся системе координат q, d:

1) ; (2.1)

2) . (2.2)

Их записывают, исходя из первого закона Кирхгоффа, применительно к сумме проекций на каждую из осей q и d падений напряжения в статорной цепи. В частности, первая составляющая в каждом из уравнений определяется активным сопротивлением обмотки статора, вторая – индуктивным, третья – величиной ЭДС, возникающей при взаимном перемещении магнитных полей статора и ротора. Четвертая составляющая – ЭДС (e), наводится в статорной обмотке током ротора, при этом

, , (2.3)

где – вектор потокосцепления статора, обусловленный действием контура возбуждения; i_r – ток в обмотке возбуждения; M_d – коэффициент взаимоиндукции между обмоткой возбуждения и обмоткой фазы статора, при совпадении их магнитных осей.

Тогда из (2.3) и условия вращения обмотки ротора с частотой имеем выражения для составляющих и :

, . (2.4)

Вернемся теперь к исходным уравнениям (2.1), (2.2) и преобразуем их с учетом следующих обозначений. Введем индуктивное сопротивление фазы статора при синхронной частоте и ЭДС, индуцируемую в статорной обмотке током возбуждения при синхронной частоте вращения:

. (2.5)

Отличие частоты в ПП от синхронной будем учитывать скольжением s ротора относительно синхронной оси по выражениям

; (2.6)

. (2.7)

С учетом (2.5) и обозначений в (2.6), (2.7) из (2.1), (2.2) получим

; (2.8)

. (2.9)

Известно, что значения потокосцеплений определяются через величины собственных и взаимных индуктивностей цепи:

(2.10)

С учетом (2.5) и (2.10) введем дополнительные обозначения:

(2.11)

Используя (2.11), можно получить окончательную, более компактную запись уравнений статорных обмоток:

1) ; (2.12)

2) . (2.13)

Аналогичным образом формируются уравнения роторных обмоток (обмотки возбуждения, геометрическое расположение вектора тока в которых совпадает с продольной осью d, и короткозамкнутых демпферных обмоток, векторы токов в которых проецируются на обе оси). Заметим, что в уравнениях отсутствует вращающаяся составляющая, поскольку ротор (и его цепи) вращаются синхронно с осями q и d. Тогда уравнения 3, 4, 5 (рис. 1.10) примут такой вид:

3) ; (2.14)

4) ; (2.15)

5) . (2.16)

Для того чтобы система пяти уравнений движения была замкнутой, необходимо добавить уравнения механического движения ротора.

На рис. 2.5 изображена система двух векторов и . Первый из них вращается с неизменной синхронной частотой , второй имеет частоту вращения ротора , которая при возникновении ПП отличается от синхронной. То есть величина электрического угла δ между векторами (рис. 2.5) колеблется относительно некоторого установившегося значения в соответствии с соотношением (2.17):

. (2.17)

Рис. 2.5. Векторная диаграмма электрического угла

Для полноты системы (равенства количества переменных и уравнений) необходимо включить в нее уравнение равновесия моментов:

, (2.18)

где М_Т – момент на валу турбины (постоянная величина, определяющая УР); – момент инерции, определяемый величиной скольжения и инерционной постоянной времени :

;

– электромагнитный момент на валу генератора[5]:

. (2.19)

В этом случае уравнения движения ротора (6–7 на рис. 1.10) примут следующий вид:

6) . (2.20)

7) . (2.21)

В окончательном виде систему уравнений движения (1–7), без учета мало влияющих на динамические свойства активных сопротивлений обмоток (r), можно переписать так:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ; (2.22)

5) ;

6) ;

7) .

Очевидно, что система уравнений движения (Горева-Парка) может быть структурно представлена в векторном виде:

. (2.23)

Анализ структуры системы (2.23) позволяет сделать вывод о том, что форма записи уравнений соответствует форме Коши (п. 1.3). Это позволяет опираться на широко известные матричные методы анализа ПП в многомерных системах.

Система семи уравнений Горева-Парка (2.22) есть совокупность нелинейных ДУ движения СМ [11]. Для применения упомянутых выше стандартных математических методов анализа и синтеза ее необходимо линеаризовать.