2.2. Метод подстановки (замена переменной)

Вычисление любого интеграла в конечном счете сводится за счет различных тождественных преобразований к одному или нескольким табличным интегралам (с учетом инвариантности формулы интегрирования).

Пусть требуется вычислить интеграл  f ( (x))(x) dx, при этом функции (x) и f ( x ) непрерывны на заданном интервале. Тогда этот интеграл можно упростить с помощью подстановки t =  ( x ), используя равенство

 f ( (x))(x) dx = || t =  ( x ) || =  f (t) dt. (1)

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Иногда удобнее делать подстановку не t =  ( x ), а х =  ( t ). Применяя такую подстановку к интегралу  f (x) dx, получим еще одну формулу замены переменной

 f ( x) dx = || х =  ( t ) ||  f ( ( t ) ) ( t ) dt. (2)

Формулу (1) еще называют формулой введения функции под знак дифференциала: (x) dx = d (x) = dt, а формулу (2) - выведением функции из-под знака дифференциала: dx = d( t ) = ( t ) dt.

Общим в формулах (1) и (2) является обратный переход в результате интегрирования от переменной t к переменной х. Другими словами, после вычисления неопределенного интеграла методом подстановки необходимо от введенной переменной интегрирования t вернуться к исходной х.

Не существует общего «рецепта», следуя которому можно всегда понять, какую подстановку надо применить к данному интегралу. Однако следует иметь в виду следующие полезные подсказки:

1) если под знаком интеграла стоит сложная функция f ( (x)), то, как правило, используется подстановка t =  ( x ). Например, если в подынтегральном выражении встречается функция sin (1/x), то стоит попробовать подстановку t = 1/x, а если - то t = x² и т.д.

2) если в подынтегральном выражении есть готовый дифференциал функции  (x), т.е. выражение (x) dx, то имеет смысл попробовать подстановку t =  ( x ). Поэтому целесообразно запомнить следующие формулы для наиболее часто встречающихся дифференциалов:

В простых случаях введение новой переменной можно (после приобретения определенного навыка) проводить в уме, мысленно обозначив соответствующую функцию через t или какую-либо иную букву.

Метод введения под знак дифференциала состоит в том, что путем введения под знак дифференциала из подынтегральной функции каких-либо функций, констант (в т.ч. домножением с одновременным делением на необходимую константу, а также добавлением нужной константы: при этом дифференциал не меняется (du = d (u c)), подынтегральное выражение преобразуется (с учетом инвариантности формулы интегрирования) к «табличному виду».