2.4.3. Интегрирование простейших дробей

1) = A ln | x – a | + C . 2) = ∙ + C .

3) При интегрировании дроби , где p² – 4pq < 0, сначала выделяем полный квадрат в знаменателе x² + px + q = (x + p/2)² + (q – p²/ 4) и делаем замену t = x + p/2:

∫ dx = = ∫ dt = A ∫ +

+ ∫ = ∫ + ∫ =

= ln (t ² + q – p²/4) + arctg = ln (x ² + px + q) + arctg + C.

4) При интегрировании дроби , где p² – 4pq < 0, также сначала выделяется полный квадрат в знаменателе x² + px + q = (x + p/2)² + (q – p²/ 4) и делается замена t = x + p/2:

∫ dx = =…= ∙ + ∫ ,

где а² = q – p²/ 4. Последний интеграл считается с помощью рекуррентной формулы

∫ = ∙ + ∙ ∙ ∫ .

Далее к интегралу ∫ снова применяется рекуррентная формула, понижающая степень знаменателя подынтегральной дроби, и так далее, пока не получится табличный интеграл ∫ = arctg + C. Например,

∫ = ∙ + ∙ ∙ ∫ = ∙ + arctg + C.

Примеры.

30. = 4 = 4 ln| | + C.

31. = 11 = 11 ∙ + C = – + C .

32. = || D = 16 – 52 < 0 => || = ∫ dt = 3 ∫ – 19 ∫ =

= 3 ∫ – arctg + C = 3 ln (t ² + 3²) – arctg + C = 3 ln ( ) – arctg + C.

33. = || D < 0 => || = ∫ dt = 4 ∫ + 13 ∫ =

= || см. выше || = 4 ∫ + 13 ∙ ∙ + arctg = – + ∙ + arctg + С =

= – + ∙ + С.

34. – дробь правильная => метод неопределенных коэффициентов:

x ² – x – 6 = (x – 3) (x + 2) => =>

=> A = 5, B = 2 => = + = 5 ln | x – 3 | + 2 ln | x + 2 | + C.

35. – дробь правильная => метод неопределенных коэффициентов: (x ² – 1) (x + 1) = (x – 1) (x + 1)²

=> => =>

=> A = 1, B = 0, C = 3 => = + = ln | x – 1 | – + C.

36. – дробь неправильная => выделяем целую часть, поделив числитель на знаменатель «столбиком»:

x ² – x + => = + = – + => метод неопределенных коэффициентов: x ³ + x ²+ x = x (x ² + x + 1)

=> = = => => A = –1, B = 2, C = 1 =>

=> = – + = – ln | x | + = – ln | x | + ln | x ² + x + 1 | + C = ln + C.

Окончательно, = – + ln + C.

Замечание. Интеграл в данном примере вычислялся с помощью метода «выделения в числителе производной знаменателя». Этот метод можно применять при вычислении интегралов от простейших дробей 3-го типа . Но также можно, как было предложено выше, пользоваться методом « выделения полного квадрата в знаменателе» (см. пример 30).

Задание для самостоятельного решения:

1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . 13. . 14. . 15. .

5. Интегрирование иррациональных функций

1. Квадратичные иррациональности

Интегралы типов , , называются неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей. Их можно найти следующим образом: под знаком радикала выделить полный квадрат

и сделать подстановку = t.

Примеры.

37. = || = ; = t, x = t – , dx = d t || =

= = ln + C = ln + C .

38. = || = ; = t, x = t – , dx = d t || =

= 2 = || интегрируем по частям || = t ∙ + ∙ ln | t + | + C =

= ∙ + ∙ ln | + |+ C .

39. = || = 7 ; = t, x = t –1, dx = d t || =

= = + 3 = – + 3 = – + 3arcsin + C =

= 3arcsin – + C.

Задание для самостоятельного решения:

1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

6. . 7. .

Интегралы типа , где - многочлен степени n, можно вычислить, пользуясь формулой

= , (1)

где - многочлен степени n – 1 с неопределенными коэффициентами

= .

Для нахождения коэффициентов А₀, А₁, …, А_{n -1}, А_n продифференцируем обе части (1)

= + . (2)

Приводя равенство (2) к общему знаменателю, получим равенство

= ( ) + ∙ ( ) + А_n, (3)

в обеих частях которого стоят многочлены степени n. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях (3), получим n + 1 уравнений, из которых находим искомые коэффициенты A_k (k = 0, 1, … , n). Подставляя их значения в правую часть (1) и найдя интеграл (см. выше), получим ответ для заданного интеграла.

Пример 40. Найти интеграл I = .

I = = A₀ + A₁x + A₂ . Дифференцируя обе части равенства, получим

= A₁ + (A₀ + A₁x) + . Приводя правую часть к общему знаменателю и умножая на него обе части, получим тождество х² = A₁(х² + 2х + 2) + (A₀ + A₁x) (х + 1) + A₂ или

х² = 2A₁х² + (A₀ + 3A₁) х + (A₀ + 2A₁ + A₂). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, придем к системе уравнений: , из которой находим A₀ = – , A₁ = , A₂ = .

Затем находим интеграл : = = ln + C. Следовательно, искомый интеграл равен I = = + ln + C.

Задание для самостоятельного решения:

1. . 2. . 3. . 4. .