2.5.2. «Рационализация» иррациональностей. Дробно-линейная подстановка

Если в рациональной дроби некоторые из слагаемых в числителе или знаменателе заменить корнями от рациональных дробей (в т.ч. от многочленов), то полученная функция будет называться иррациональной.

В некоторых случаях интегралы от иррациональных функций удается рационализировать, т.е. с помощью подходящей подстановки свести к интегралам от рациональных дробей:

1. Если корни в подынтегральном выражении имеют вид: , , и т.д.,

то оно преобразуется в рациональную дробь с помощью подстановки x = t ^k, где k – НОК (n, q, s, …).

Пример 41. = || НОК(2, 3) = 6 => x = t ⁶ => dx = 6 t ⁵d t || = 6 = 6 = ||непр.дробь|| =

= 6 = 6 – 6 = 6 + С = 2t ³ – 3t ² + 6t – 6 ln | t + 1 | + C =

= 2 – 3 + 6 – 6 ln | + 1 | + C.

2. Если корни в подынтегральном выражении: , , и т.д., то оно преобразуется в рациональную дробь с помощью подстановки ax + b = t ^k, где k – НОК (n, q, s, …).

Пример 42. d x = || НОК(2, 3) = 6 => 1 + x = t ⁶ => dx = 6 t ⁵d t || = = 6 =

= 6 + С = 6 t⁴ + С = 6 + С.

3. Если выражение под знаком интеграла содержит только корни: , , и т.д. (в частности , при с = 0, d = 1 получаем случай 2, при

c = b = 0, d = a = 1 – случай 1), то оно преобразуется в рациональную дробь с помощью подстановки = t ^k, где k – НОК (n, q, s, …).

Пример 43. = || = t ² => x = => dx = – d t || = = 4 dt =

= 4 dt = 4 dt + 4 = 4 + 2 dt =

= 4 + 2 – 2 = 2arctg t + ln + C = 2arctg + ln + C.

Задание для самостоятельного решения:

1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

6. . 7. .

2.5.3. Тригонометрическая подстановка

Интегралы типа сводятся к интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, с помощью следующих тригонометрических подстановок:

Замечание. Для нахождения интегралов

и

можно применять гиперболические подстановки:

При этом: если x = a ch t, то t = ln ,

если x = a sh t, то t = ln .

Задание для самостоятельного решения:

1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

6. . 7. .

2.5.4. Интегралы типа

Здесь подынтегральная функция есть рациональная функция относительно х и . Выделив под радикалом полный квадрат и сделав подстановку = t, интегралы указанного типа приводятся к интегралам рассмотренных выше типов , которые можно вычислить с помощью соответствующих тригонометрических подстановок.

Интеграл находят с помощью подстановки х – а = .

Задание для самостоятельного решения:

1. . 2. . 3. .

2.5.5. Интегрирование дифференциального бинома

Интегралы типа называются интегралами от дифференциального бинома, где m, n, p – рациональные числа. Такой интеграл можно вычислить в следующих трех случаях:

1. p – целое число => применяется подстановка x = t^k, где k – общий знаменатель дробей m и n;

2. – целое число => применяется подстановка a + bxⁿ = t^k, где k –знаменатель числа p;

3. + p – целое число => применяется подстановка ax^-n + b = t^k, где k –знаменатель числа p.