2.6. Интегрирование тригонометрических функций
1.
Если под знаком интеграла стоит выражение
R(sinx,
cosx),
получающееся из функций sinx
и cosx
и констант
с помощью четырех арифметических
действий и называемое рациональной
функцией от sinx
и cosx,
то интеграл
∫
R(sinx,
cosx)
dx
сводится
к интегралу от рациональной функции
при помощи универсальной
тригонометрической подстановки
t
= tg
.
Тогда
sin
x
=
,
cos
x
=
,
dx
=
Универсальная
подстановка позволяет найти любой
интеграл вида ∫
R(sinx,
cosx)
dx.
Однако в большинстве случаев она приводит
к достаточно громоздким вычислениям.
В ряде случаев удобнее пользоваться
более эффективными для этих случаев
подстановками. Тем не менее, интегралы
вида ∫
,
где а
и/или b
не равны нулю, наиболее быстро считаются
именно с этой подстановкой.
Пример 47.
= || t
= tg
=> cosx
=
;
dx
=
|| =
=
=
=
=
ln
+ C
=
ln
+ C.
2. Если подынтегральная функция R(sinx, cosx) не меняется при перемене знаков у sinx и cosx одновременно, т.е. если R(sinx, cosx) = R(–sinx, –cosx), другими словами, R(sinx, cosx) содержит только произведение sinx ∙ cosx, четные степени sinx и cosx и м.б. константу, то целесообразно применить подстановку t = tg x. Тогда
sin
x
=
,
cos
x
=
,
dx
=
.
Эта подстановка
удобна, например, для интегралов ∫
.
Пример 48.
= || t
= tg
х =>
cosx
=
;
sinx
=
;
dx
=
|| =
=
=
=
arctg
t
+ C
=
arctg (
tg
х)
+ C.
3. Если подынтегральная функция R(sinx, cosx) меняет знак при замене sinx на
–sinx, т.е. если R(–sinx, cosx) = –R(sinx, cosx), то интеграл вычисляется с помощью подстановки t = cos x. В частности, это относится к интегралам вида
∫ sin2n+1x cos2nx dx, n = 0, 1, 2, 3, …
Если подынтегральная функция R(sinx, cosx) меняет знак при замене cosx на
–cosx, т.е. если R(sinx, –cosx) = –R(sinx, cosx), то интеграл вычисляется с помощью подстановки t = sin x. В частности, это относится к интегралам вида
∫ sin2nx cos2n+1x dx, n = 0, 1, 2, 3, …
Суть подстановки в данном случае в том, что от sinx или от cosx в нечетной степени отбирается один множитель и загоняется под знак дифференциала.
Пример 49.
=
=
=
–
=
=
cos7/2x
–
cos3/2x
+ C.
4. Если подынтегральная функция представляет собой произведение четных степеней синуса и косинуса, т.е. интеграл имеет вид ∫ sin2nx cos2kx dx, k, n = 0, 1, 2, …,
то формулы sin2x
=
,
cos2x
=
,
sinx
cosx
=
sin2x
упрощают его.
Пример 50.
=
=
=
=
=
–
=
–
=
–
–
–
=
х
–
sin4x
–
sin32x
+ C.
5. При вычислении интегралов ∫ sinnx coskx dx, ∫ sinnx sinkx dx, ∫ cosnx coskx dx,
пользуются тригонометрическими формулами преобразования произведения в сумму
sin
α
∙ cos
β
=
[
sin(α
– β)
+ sin(α
+ β)],
sin α ∙ sin β = [ cos(α – β) – cos(α + β)],
cos α ∙ cos β = [ cos(α – β) + cos(α + β)],
Пример
51.
∫ cos5x
cos3x
dx
=
∫
(cos2x
+
cos8x)
dx
=
∫
cos2x
dx
+
∫
cos8x
dx
=
sin2x
+
sin
8x
+ C.
6. Интегралы вида ∫ tgnx dx и ∫ ctgnx dx вычисляются с помощью формул
tg2x
=
– 1, ctg2x
=
– 1,
позволяющих понизить степень тангенса или котангенса.
Пример 52.
∫ tg5x
dx
= ∫ tg3x
∙ tg2x
dx
= ∫ tg3x
∙
dx
= ∫ tg3x
∙
– ∫
tg3x
dx
= ∫ tg3x
d
(tgx)
–
– ∫ tg x dx = tg4x – ∫ tg x ∙ – ∫ tg x dx = tg4x – tg2x + ln |cos x| + C.
Задание для самостоятельного решения:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.